52、俄罗斯卡片问题与图类识别的分布式交互证明

俄罗斯卡片问题与图类识别的分布式交互证明

1. 俄罗斯卡片问题

1.1 问题背景与限制情况

俄罗斯卡片问题存在经典签名 (3, 3, 1) 和弱变体 (3, 3, 0) 两种情况。通过相关理论可知，对于签名 (3, 3, 1) 且 r ≥1 以及签名 (3, 3, 0) 且 r ≥2 的情况，不存在信息性且安全的两步协议。因此，主要考虑 n = 7 的情况。经典的签名为 (3, 3, 1) 且 n = 7 的俄罗斯卡片问题已被深入研究，存在一种简单的模算术解决方案，需要发送七条消息，即 |MA| = |MB| = 7。

1.2 六条消息的解决方案

1.2.1 信息性协议

约翰逊图的色数在组合学和编码理论中具有重要研究价值。已知 χ(J(7, 3)) = 6，所以存在一个包含 6 条消息的信息性协议，且消息数量不能更少。对于俄罗斯卡片问题及其弱变体，在考虑协议安全性时，需要考虑 C 的可能输入。在俄罗斯卡片问题中，C - 顶点为 Pc(D)，c = 1；而在弱变体中，只有一个 C - 顶点 (C, ∅)。两种情况下都存在 |MA| = 6 的两步协议（具有信息性和安全性）。若不考虑安全性，B 可以只发送 4 条不同的消息。存在一个信息性（非安全）的两步协议，对于 A 和 B 都是最优的，即 |MA| = 6 且 |MB| = 4。

1.2.2 均匀解决方案的不可能性

在六条消息的解决方案中，每个颜色类的大小至少为 5 或至多为 7。由于 A 有 35 种可能的手牌，颜色类大小分布只有三种可能：均匀解决方案 5, 6, 6, 6, 6, 6 和 5, 5, 6, 6, 6, 7，以及非均匀