1423 Big Number

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Description

In many applications very large integers numbers are required. Some of these applications are using keys for secure transmission of data, encryption, etc. In this problem you are given a number, you have to determine the number of digits in the factorial of the number.

Input

Input consists of several lines of integer numbers. The first line contains an integer n, which is the number of cases to be tested, followed by n lines, one integer 1 <= m <= 10^7 on each line.

Output

The output contains the number of digits in the factorial of the integers appearing in the input.

Sample Input

2
10
20

Sample Output

7
19

Source

Dhaka 2002

题目要求n!有多少位，由于n最大可以到10^7，直接计算根本没有合适的东西存储结果，使用以下公式：
n!=n*(n-1)*(n-2)*…..*1
N的位数=[lg(N)]+1;
所以：n!的位数=[lg(n*(n-1)*(n-2)*…..*1)]+1=[lgn+lg(n-1)+lg[n-2]+….+lg1]+1;
如果对每个数字都重新计算，是超时的，因此，可以先对数字进行排序，然后从小的开始计算，对大的数，可以直接接着前面小的数来计算，比如：10和20，先计算10，那么log10(10)+......+log10(1)就都计算出来了，那么对20来说，只需要用10的结果加上log(20)+......+log(11)即可，类似动态规划中的备忘录。
其中，v是进行排序的结果；old保存的是初始的数据顺序，用来输出时使用；map用来保存结果。
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
vector<double> old;
vector<double> v;
map<double, double>m;

int solve(vector<double> &v ,map<double, double> &m, int i)
{
double pre_value=1;
double head=1;
if(i>0)
{
head=v[i-1]+1;
pre_value=m[v[i-1]];
}
double sum;
sum=pre_value;
for(double j=head;j<=v[i];j++)
{
sum += log10(j);
}
m[v[i]]=sum;
return 0;
}

int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n--)
{
double num;
cin>>num;
v.push_back(num);
old.push_back(num);
}
sort(v.begin(),v.end());    //排序
for(int i=0;i<v.size();i++)
{
solve(v,m,i);
}
for(int i=0;i<old.size();i++)
{
double sum=m[old[i]];
cout<<(int)sum<<endl;
}
system("pause");
return 0;
}
还可以使用Stirling公式 

Stirling公式的意义在于:当n足够大之后n!计算起来十分困难,虽然有很多关于n!的不等式,但并不能很好的对阶乘结果进行估计,尤其是n很大之后,误差将会非常大.但利用Stirling公式可以将阶乘转化成幂函数,使得阶乘的结果得以更好的估计.而且n越大,估计得就越准确。

补充：
用Stirling公式计算n!结果的位数时，可以两边取对数，得：
log10(n!) = log10(2*PI*n)/2+n*log10(n/E);
故n!的位数为 log10(2*PI*n)/2+n*log10(n/E)+1（注意：当n=1时，算得的结果为0）

n的位数为[lg10(n)]+1
n!的位数为[lg10(n*(n-1)*(n-2)*…..*1)]+1=[lg10(n)+lg10(n-1)+lg10(n-2)+….+lg10(1)]+1

高德纳的《计算机程序设计艺术》中，
n! = sqrt(2*π*n) * ((n/e)^n) * (1 + 1/(12*n) + 1/(288*n*n) + O(1/n^3))
代码如下：
#include<iostream>
#include<cmath>
int main( void )
{
 int m , n ;
 double pi = 3.1415926;
 double e = 2.71828182;
 double r;
 
 freopen("1423.txt" , "r" , stdin );
 std::cin >> n;
 while( n -- )
 {
  r = 0.0;
  std::cin >> m;
  if( m > 3 )
   r = log10( 2*pi*m )/2 + m*log10(m/e);
  m = (int)r + 1;
  std::cout << m << std::endl;
 }
 return 0;
}