容斥原理 —— 求1~n有多少个数与k互质（二进制算法详细解释&模板）

void pr(int k)      //求k的质因子  
{  
    num = 0;  
    for (int i = 2 ; i * i <= k ; i++)  
    {  
        if (k % i == 0)  
        {  
            p[num++] = i;  
            while (k % i == 0)  
                k /= i;  
        }  
    }  
    if (k > 1)  
        p[num++] = k;  
}  

我们首先把k分解质因数，储存到p数组中，num表示质因子的数量。

然后用容斥原理，我们反着求不与k互质的数的个数，到时候一减就得出结果了。

举个例子，比如 k 的质因子有 2,3,5。那么2、3、5的倍数都不和 k 互质，另外还没有完，可能有重复的地方，比如6，既是2的倍数又是3的倍数，前面用 k/2 + k/3 的时候多减了，这个时候要加上 k / (2*3)。同理，10，15这一类数都应该加上。但是还有类似于30这样的数，它是2，3，5的倍数，减的时候又多减了。

然后我们会发现，出现奇数个数，就用加法，偶数个数用减法。

最后的式子是这样的：k / 2 + k / 3 + k / 5 - k / (2 * 3) - k / (3 * 5) - k / (2 * 5) + k / (2 * 3 * 5)

有点长，看一下容易发现我说的奇偶的规律。

但是要怎么取算这个又出现问题了。

这里提供二进制的方法，个人觉得比较好理解。

设质因数的个数为m。

有一个浮动的数字，从1 ~ m依次递增，它的二进制的每一位表示用了哪些数字，比如5（101），其二进制的第一位和第三位（倒着数）是1，则它表示用了第一个质因数和第三个质因数。就是这个意思，这样就能发现：从1到m遍历一遍，就把所有的可能都包括了。

代码：

__int64 solve(__int64 n)        //1~n中不与k互质的数   
{  
    __int64 ans = 0;  
    for (__int64 i = 1; i < (__int64)1 << num ; i++)       //其二进制位为1，表示这些质因数被用到   
    {  
        int ant = 0;        //用奇数个质因数加，偶数个减  
        __int64 t = 1;  
        for (int j = 0 ; j < num ; j++)  
        {  
            if (((__int64)1 << j) & i)  
            {  
                t *= p[j];  
                ant++;  
            }  
        }  
        if (ant & 1)        //奇数加  
            ans += n / t;  
        else        //偶数减   
            ans -= n / t;  
    }  
    return ans;  
}