【容斥原理】求1~n有多少个数与k互质

本文介绍了一个使用C++实现的筛选算法,该算法通过计算特定数值范围内能被指定质数整除的数的数量来找出符合条件的数。文章详细解释了算法的工作原理,包括如何通过位操作选择不同的质数进行组合,并基于奇偶性来决定加法或减法运算。

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//n除以奇数个数相乘的时候是加,n除以偶数个数相乘的时候是减。


#include<cstdio>
int num[6] = {2,3,5,7};
int n;



int solve()
{
    int ans = 0;        //是那四个数的倍数的数的数量 
    for (int i = 1 ; i < (1<<4) ; i++)      //选数 
    {
        int ant = 0;        //选中数的数量 
        int k = 1;      //记录选中数字的乘积 
        for (int j = 0 ; j < 4 ; j++)
        {
            if (i & (1<<j))     //检测第j个数有没有被选中 
            {
                ant++;
                k *= num[j];
            }
        }
        if (ant & 1)        //ant % 2 == 1  表示奇数 
            ans += n / k;
        else
            ans -= n / k;
    }
    return ans;
}



int main()
{
    scanf ("%d",&n);
    printf ("%d\n",n-solve());
    return 0;
}
在组合学中,欧拉函φ(N),也称为 totient 函,表示不大于N的正整N互质目。不直接利用积性原理,我们可以通过容斥原理来推导。容斥原理通常用于解决关于集合交集的问题。 这里不使用积性原理(如费马小定理),而是考虑每个小于N的x是否N互质。根据容斥原理[^1],对于任意两个互质的模mi mj,如果它们都不大于n_i(即 ni < mi),那么存在一个x满足对所有i,x除以mi 的余等于ni。换句话说,x可以按照每个mi 来取模得到不同的余。 但是要找出N互质量,我们需要考虑的是哪些不是N的因子。因为如果x是N的因子,它就不能N互质。所以,我们可以从1到N-1枚举所有可能的x,减去那些是N的因子的情况。这对应着φ(N) = N - Σ(对于每个1 ≤ k ≤ sqrt(N),gcd(k,N) > 1)。 这个公式展示了如何通过容斥原理计算φ(N):从N中减去所有小于或等于√N且N有公约量。需要注意的是,这里的gcd表示最大公约。 具体操作时,可以编写一段程序来实现上述思路: ```python def phi(N): result = N for k in range(2, int(N**0.5)+1): # 只需考虑小于sqrt(N)的k if gcd(k, N) == 1: # 如果kN互质 result -= 1 # 从结果中减去1 return result # 使用gcd函(需要实现) def gcd(a, b): pass # 实现欧几里得算法来计算ab的最大公约 phi(N) ```
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