剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：2

示例 2：

输入：n = 7
输出：21

示例 3：

输入：n = 0
输出：1

方法：动态规划法
首先定义状态：$dp[n]$表示n级台阶的跳法，随后需要确定转移方程
假设已知第$n-1$级台阶的跳法，青蛙在$n-1$级台阶上时只有如下图一种跳法，所以青蛙在$n-1$级台阶上时跳法为$dp[n-1]\ast 1$。

因为青蛙还可以一次跳两阶，当已知$n-2$级的跳法时，青蛙在$n-2$级台阶上时也只有如下图一种跳法（不能跳到$n-1$阶上，因为此种跳法已被包含在上面$n-1$的跳法当中），青蛙在$n-2$级台阶上时增加新跳法为$dp[i-2]\ast 1$种。

综上青蛙跳到第n级台阶上的跳法$dp[n]=dp[n-1]\ast 1+dp[n-2]\ast 1$,即为动态规划中的状态转移方程。

1. 状态定义：$dp[n]$表示n级台阶的跳法
2. 状态转移方程：$dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]$
3. 初始状态：$dp[0]=1，dp[1]=1$
4. 返回值：$dp[]$数组最后一个数

Python代码

class Solution:
    def numWays(self, n: int) -> int:
        if n == 0: return 1
        dp=[0]*(n+1)
        dp[0] = 1
        dp[1] = 1
        for i in range(2,n+1):
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        return dp[-1] % 1000000007

代码优化

同上一题剑指 Offer 10- II. 此时空间复杂度为 $O(N)$。

• 由于$dp[]$列表第i项只与第 $i-1$ 和第 $i-2$ 项有关，因此只需要初始化三个整形变量$sum,a,b$，利用辅助变量 $sum$使$a,b$两数字交替前进即可。
• 节省了$dp[]$列表空间，因此空间复杂度降至$O(1)$。

class Solution:
    def numWays(self, n: int) -> int:
        a, b = 1, 1
        for _ in range(n):
            a, b = b, a + b
        return a % 1000000007

C++代码

class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
        if(n ==0){return 1;}
        int dp[n+1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i] = (dp[i-1] + dp[i-2]) % 1000000007;
        }
    return dp[n];
    }
};

注意
C++编写时，每次存入dp数组前都要进行取模，否则将超出整型变量尺寸范围。