HDU 5045 Contest（概率dp，状态压缩，2014上海网络赛1004）

题目：Contest

题意：这道题，感觉讲得有点难理解，比赛的时候理解题意确实花了点时间。

首先就是比赛的形式，一共M道题目，第i个题目必须在第i个小时里面做。队伍里面有N个人，给出每个人做每道题能够AC的概率。

每道题只能有一个人独立完成，求最大的正确解题数的期望。

有一个限制条件，在任何时刻，队伍里面的任意两个队员之间的做题数（有做就行，不一定AC）差值不能大于1。

考虑限制条件，这要求任意时刻都要满足，注意到N小于等于10，很明显在引诱我们往状态压缩想嘛。

那怎么表示呢？我们找到当前队伍里面做题最少的数量，所有人的解题数全部减去这个值，那么满足限制的情况下，所有人的解题数就都变成0或1。

所以我们可以通过01来表示出队伍里队员解题数的关系。每次都选择当前为0的队员，让他做题。而当全部人都变成1时，这个状态就传递给全部都是0的情况，因为大家都一样了嘛。

假设原先状态为i，当前处理第j个题，选择第k个人做，状态的转移方程就是：

dp[j][i^(1<<k)] = max(dp[j][i^(1<<k)], (dp[j-1][i]+1.0)*A[k][j] + dp[j-1][i]*W[k][j]); 

搞ACM的你们知道A和W代表什么的啦~~

最后只要枚举最终的状态集合求最大的期望就行了。

PS：如果你不清楚概率dp这种期望的求解，建议先去看看kuangbin神牛的博客，他上面有关于概率dp的总结。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
const double eps = 1e-12;
double dp[N][1<<10];
double A[10][N], W[10][N];
int T, n, m;
int main(){
    scanf("%d", &T);
    for(int t=1; t<=T; t++){
        scanf("%d %d", &n, &m);
        for(int i=0; i<n; i++){
            for(int j=0; j<m; j++){
                scanf("%lf", &A[i][j]);
                W[i][j] = 1.0-A[i][j];
            }
        }
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(int i=0; i<n; i++){
            if(n>1) dp[0][1<<i] = A[i][0];
            else    dp[0][0] = A[i][0];
        }
        int mask = (1<<n)-1;
        for(int j=1; j<m; j++){
            for(int i=0; i<(1<<n); i++){
                if(dp[j-1][i]<eps)  continue;
                for(int k=0; k<n; k++){
                    if(!(i&(1<<k))){
                        int x = i^(1<<k);
                        if(x==mask) x = 0;
                        dp[j][x] = max(dp[j][x], (dp[j-1][i]+1.0)*A[k][j] + dp[j-1][i]*W[k][j]);
                    }
                }
            }
        }
        double ans = 0.0;
        for(int i=0; i<(1<<n); i++){
            ans = max(ans, dp[m-1][i]);
        }
        printf("Case #%d: %.5f\n", t, ans);
    }
    return 0;
}