小白进阶之动态规划-矩阵链乘法

问题描述：

给定一个n个矩阵的序列(A1,A2,A3,...,An)，希望计算它们的乘积的花销最小。用序列p= (p0,p1,p2,...,pn)表示矩阵序列的规模，m[i,j]表示计算矩阵Ai,j所需的标量乘法次数的最小值，s[i,j]记录最优值 m[i,j]对应的分割点k。

下面是源码;

matrixChain.h

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<limits.h>
int matrixChainOrder(int *p,int n,int **s);//动态规划-自底向上的矩阵链乘法
void printOptimalParens(int **s,int i,int j);//打印矩阵链
int memorizedMatrixChain(int *p,int n,int **t);//带备份的递归版本的矩阵链乘法
int lookUpChain(int **m,int **t,int *p,int i,int j);//寻找最短矩阵链的子函数

matrixChain.cpp

#include"matrixChain.h"
int matrixChainOrder(int *p,int n,int **s){
	int **m,i;
	m=(int **)malloc(sizeof(int *)*n);
	for(i=0;i<n;i++)
		m[i]=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
	for(i=0;i<n;i++){
		m[i][i]=0;
		s[n-1][i]=0;
		s[i][0]=0;
	}
	int l;
	for(l=2;l<=n;l++){
		for(i=0;i<=n-l;i++){
			int j=i+l-1;
			m[i][j]=INT_MAX;
			int k,q;
			for(k=i;k<j;k++){
				q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i]*p[k+1]*p[j+1];
				if(q<m[i][j]){
					m[i][j]=q;
					s[i][j]=k;
				}
			}
		}
	}
	return m[0][n-1];
}
void printOptimalParens(int **s,int i,int j){
	if(i==j)
		printf("A[%d]",i);
	else{
		printf("(");
		printOptimalParens(s,i,s[i][j]);
		printOptimalParens(s,s[i][j]+1,j);
		printf(")");
	}
}
int memorizedMatrixChain(int *p,int n,int **t){
	int **m,i,j;
	m=(int **)malloc(sizeof(int *)*n);
	for(i=0;i<n;i++)
		m[i]=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
	for(i=0;i<n;i++)
		for(j=i;j<n;j++)
			m[i][j]=INT_MAX;
	return lookUpChain(m,t,p,0,n-1);
}
int lookUpChain(int **m,int **t,int *p,int i,int j){
	if(m[i][j]<INT_MAX)
		return m[i][j];
	if(i==j)
		m[i][j]=0;
	else{
		int k,q;
		for(k=i;k<j;k++){
			q=lookUpChain(m,t,p,i,k)+lookUpChain(m,t,p,k+1,j)+p[i]*p[k+1]*p[j+1];
			if(q<m[i][j]){
				m[i][j]=q;
				t[i][j]=k;
			}
		}
	}
	return m[i][j];
}

main.cpp

#include"matrixChain.h"
int main(){
	int *p,**s,**t,n,i;
	printf("Please input the number of the matrixes:\n");
	scanf("%d",&n);
	p=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));
	s=(int **)malloc(sizeof(int *)*n);
	t=(int **)malloc(sizeof(int *)*n);
	printf("Please input the size of the matrixes:\n");
	for(i=0;i<n+1;i++){
		scanf("%d",&p[i]);
	}
	for(i=0;i<n;i++){
		s[i]=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
	}
	for(i=0;i<n;i++){
		t[i]=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
	}
	int min1=matrixChainOrder(p,n,s);
	printf("The minimum times is:%d\n",min1);
	printf("The sequence is:\n");
	printOptimalParens(s,0,n-1);
	int min2=memorizedMatrixChain(p,n,t);
	printf("\nThe minimum times is:%d\n",min2);
	printf("The sequence is:\n");
	printOptimalParens(t,0,n-1);
	system("pause");
	return 0;
}

至此，动态规划算法的四个经典问题就全部完成了。个人感觉动态规划算法套路深深，按照套路来就可以正确利用动态规划算法解决问题了。