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- 例题三
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- 例3.2 设 A = [ 1 2 − 1 − 2 4 2 3 6 − 3 ] \bm{A}=\begin{bmatrix}1&2&-1\\-2&4&2\\3&6&-3\end{bmatrix} A=⎣⎡1−23246−12−3⎦⎤，则 A n = \bm{A}^n= An=__________。
- 例3.7 已知 A = [ 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ] \bm{A}=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix} A=⎣⎡100110011⎦⎤，求 A n \bm{A}^n An。
- 例3.11 设 A = E − 2 ξ ξ T \bm{A}=\bm{E}-2\bm{\xi}\bm{\xi}^\mathrm{T} A=E−2ξξT，其中 ξ = [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ] T \bm{\xi}=\begin{bmatrix}x_1,x_2,\cdots,x_n\end{bmatrix}^\mathrm{T} ξ=[x1,x2,⋯,xn]T，且 ξ ξ T = 1 \bm{\xi}\bm{\xi}^\mathrm{T}=1 ξξT=1。证明：
- 新版例题三
- 新版习题三
- 写在最后
例题三
例3.2 设 A = [ 1 2 − 1 − 2 4 2 3 6 − 3 ] \bm{A}=\begin{bmatrix}1&2&-1\\-2&4&2\\3&6&-3\end{bmatrix} A=⎣⎡1−23246−12−3⎦⎤，则 A n = \bm{A}^n= An=__________。
解
A = [ 1 2 − 1 − 2 4 2 3 6 − 3 ] = [ 1 − 2 3 ] [ 1 2 − 1 ] = 记 α T β , \bm{A}=\begin{bmatrix}1&2&-1\\-2&4&2\\3&6&-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-2\\3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&-1\end{bmatrix}\xlongequal{\text{记}}\bm{\alpha}^\mathrm{T}\bm{\beta}, A=⎣⎡1−23246−12−3⎦⎤=⎣⎡1−23⎦⎤[12−1]记αTβ,
则 A n = ( α T β ) n = ( α T β ) ( α T β ) ⋯ ( α T β ) = α T ( β α T ) ( β α T ) ⋯ ( β α T ) β = α T ( β α T ) n − 1 β \bm{A}^n=(\bm{\alpha}^\mathrm{T}\bm{\beta})^n=(\bm{\alpha}^\mathrm{T}\bm{\beta})(\bm{\alpha}^\mathrm{T}\bm{\beta})\cdots(\bm{\alpha}^\mathrm{T}\bm{\beta})=\bm{\alpha}^\mathrm{T}(\bm{\beta}\bm{\alpha}^\mathrm{T})(\bm{\beta}\bm{\alpha}^\mathrm{T})\cdots(\bm{\beta}\bm{\alpha}^\mathrm{T})\bm{\beta}=\bm{\alpha}^\mathrm{T}(\bm{\beta}\bm{\alpha}^\mathrm{T})^{n-1}\bm{\beta} An=(αTβ)n=(αTβ)(αTβ)⋯(αTβ)=αT(βαT)(βαT)⋯(βαT)β=αT(βαT)n−1β，其中 β α T = [ 1 2 − 1 ] [ 1 − 2 3 ] = − 6 \bm{\beta}\bm{\alpha}^\mathrm{T}=\begin{bmatrix}1&2&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-2\\3\end{bmatrix}=-6 βαT=[12−1]⎣⎡1−23⎦⎤=−6，故 A n = ( − 6 ) n − 1 [ 1 2 − 1 − 2 4 2 3 6 − 3 ] \bm{A}^n=(-6)^{n-1}\begin{bmatrix}1&2&-1\\-2&4&2\\3&6&-3\end{bmatrix} An=(−6)n−1⎣⎡1−23246
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