本章主要介绍了向量组的线性相关性的应用。
目录
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- 4. 问 a a a取什么值时下列向量线性相关？ a 1 = ( a 1 1 ) , a 2 = ( 1 a − 1 ) , a 1 = ( 1 − 1 a ) . \bm{a}_1=\begin{pmatrix}a\\1\\1\end{pmatrix},\bm{a}_2=\begin{pmatrix}1\\a\\-1\end{pmatrix},\bm{a}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\a\end{pmatrix}. a1=⎝⎛a11⎠⎞,a2=⎝⎛1a−1⎠⎞,a1=⎝⎛1−1a⎠⎞.
- 10.设 b 1 = a 1 , b 2 = a 1 + a 2 , ⋯ b r = a 1 + a 2 + ⋯ + a r \bm{b}_1=\bm{a}_1,\bm{b}_2=\bm{a}_1+\bm{a}_2,\cdots\bm{b}_r=\bm{a}_1+\bm{a}_2+\cdots+\bm{a}_r b1=a1,b2=a1+a2,⋯br=a1+a2+⋯+ar，且向量组 a 1 , a 2 , ⋯ , a r \bm{a}_1,\bm{a}_2,\cdots,\bm{a}_r a1,a2,⋯,ar线性无关，证明向量组 b 1 , b 2 , ⋯ , b r \bm{b}_1,\bm{b}_2,\cdots,\bm{b}_r b1,b2,⋯,br线性无关。
- 20.已知 3 3 3阶矩阵 A \bm{A} A与 3 3 3维列向量 x \bm{x} x满足 A 3 x = 3 A x − A 2 x \bm{A}^3\bm{x}=3\bm{A}\bm{x}-\bm{A}^2\bm{x} A3x=3Ax−A2x，且向量组 x , A x , A 2 x \bm{x},\bm{Ax},\bm{A}^2\bm{x} x,Ax,A2x线性无关。
- 23.求一个齐次线性方程，使它的基础解系为 ξ 1 = ( 0 , 1 , 2 , 3 ) T , ξ 2 = ( 3 , 2 , 1 , 0 ) T . \bm{\xi}_1=(0,1,2,3)^{\mathrm{T}},\qquad\bm{\xi}_2=(3,2,1,0)^{\mathrm{T}}. ξ1=(0,1,2,3)T,ξ2=(3,2,1,0)T.
- 34.设非齐次线性方程组 A x = b \bm{Ax}=\bm{b} Ax=b的系数矩阵的秩为 r r r，向量 η 1 , ⋯ , η n − r + 1 \bm{\eta}_1,\cdots,\bm{\eta}_{n-r+1} η1,⋯,ηn−r+1是它的 n − r + 1 n-r+1 n−r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x = k 1 η 1 + ⋯ + k n − r + 1 η n − r + 1 ( 其中 k 1 + ⋯ + k n − r + 1 = 1 ) . \bm{x}=k_1\bm{\eta}_1+\cdots+k_{n-r+1}\bm{\eta}_{n-r+1}\quad(\text{其中}k_1+\cdots+k_{n-r+1}=1). x=k1η1+⋯+kn−r+1ηn−r+1(其中k1+⋯+kn−r+1=1).
- 写在最后
4. 问 a a a取什么值时下列向量线性相关？ a 1 = ( a 1 1 ) , a 2 = ( 1 a − 1 ) , a 1 = ( 1 − 1 a ) . \bm{a}_1=\begin{pmatrix}a\\1\\1\end{pmatrix},\bm{a}_2=\begin{pmatrix}1\\a\\-1\end{pmatrix},\bm{a}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\a\end{pmatrix}. a1=⎝⎛a11⎠⎞,a2=⎝⎛1a−1⎠⎞,a1=⎝⎛1−1a⎠⎞.
解 记 A = ( a 1 , a 2 , a 3 ) \bm{A}=(\bm{a}_1,\bm{a}_2,\bm{a}_3) A=(a1,a2,a3)，则
d e t A = ∣ a 1 1 1 a − 1 1 − 1 a ∣ = r 2 + r 1 ∣ a 1 1 a + 1 a + 1 0 1 − 1 a ∣ = c 1 − c 2 ∣ a − 1 1 1 0 a + 1 0 2 − 1 a ∣ = ( a + 1 ) 2 ( a − 2 ) . \begin{aligned} \mathrm{det}\bm{A}&=\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&-1\\1&-1&a\end{vmatrix}\xlongequal{r_2+r_1}\begin{vmatrix}a&1&1\\a+1&a+1&0\\1&-1&a\end{vmatrix}\\ &\xlongequal{c_1-c_2}\begin{vmatrix}a-1&1&1\\0&a+1&0\\2&-1&a\end{vmatrix}=(a+1)^2(a-2). \end{aligned} detA=∣∣∣∣∣∣a111a−11−1a∣∣∣∣∣∣r2+r1∣∣∣∣∣∣aa+111a+1−110a∣∣∣∣∣∣c1−c2∣∣∣∣∣∣a−1021a+1−110a∣∣∣∣∣∣=(a+1)2(a−2).
于是当 a = − 1 a=-1 a=−1或 a = 2 a=2 a=2时 d e t A = 0 \mathrm{det}\bm{A}=0 detA=0，即 R ( A ) < 3 R(\bm{A})<3 R(A)<3。由定理知此时向量组 a 1 , a 2 , a 3 \bm{a}_1,\bm{a}_2,\bm{a}_3 a1,a2,a3线性相关。（这道题主要利用了行列式和矩阵秩的关系求解）
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