HDU4717 The Moving Points（三分）

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本文介绍了一种解决最远两点间最小距离问题的算法。通过构造关于时间t的二次方程并使用三分法求解，实现高效计算。适用于n个点随时间变化的情况。

题意：给n个点初始位置和初始速度，问哪时候最远的两个点距离最小。

思路：对于任意时刻i j两点距离的平方为一个关于时间t 的二次方程， di^2 = ai * t^2 + bi * t + ci的形式，对于任意时刻任意两点距离最大值其实就是，F(t) = max { sqrt(di^2) } ,画在坐标系中可以看出这总是一个下凸的图形，这样利用三分就可快速求解

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
const int maxn = 5 * 1e4 + 10;
const double INF = 1e18;
const double eps = 1e-10;
using namespace std;

ll a[maxn], b[maxn], c[maxn];
ll x[maxn], y[maxn];
ll vx[maxn], vy[maxn];
int T, n, kase = 1, num;

double f(ll a, ll b, ll c, double t) { return t * t * a + t * b + c; }

double F(double t) {
    double ans = - INF;
    for(int i = 0; i < num; i++) {
        ans = max(ans, f(a[i], b[i], c[i], t));
    }
    return ans;
}

int main() {
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        num = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%lld %lld", &x[i], &y[i]);
            scanf("%lld %lld", &vx[i], &vy[i]);
        }
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            for(int j = i + 1; j < n; j++) {
                ll dvx = vx[j] - vx[i];
                ll dvy = vy[j] - vy[i];
                ll dx = x[j] - x[i];
                ll dy = y[j] - y[i];
                a[num] = dvx * dvx + dvy * dvy;
                b[num] = 2 * (dvx * dx + dvy * dy);
                c[num] = dx * dx + dy * dy;
                num++;
            }
        }
        double L = 0, R = 1e9;
        while(R - L > eps) {
            double t1 = L + (R - L) / 3;
            double t2 = R - (R - L) / 3;
            if(F(t1) < F(t2)) R = t2;
            else L = t1;
        }
        double ans = sqrt(F(R));
        printf("Case #%d: %.2f %.2f\n", kase++, R, ans);
    }
    return 0;
}