zoj-3777-Problem Arrangement（状态压缩DP）_- problem arrangement zoj

本文对比了状态压缩动态规划与枚举遍历两种算法解决特定问题的效率。通过具体实例分析，展示了状态压缩DP如何显著降低时间复杂度，从(1<<n)*n*M减少到比n!小约20倍的数量级。文中提供了两种方法的完整代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

思路来源：http://blog.youkuaiyun.com/u013081425/article/details/23677585

http://blog.youkuaiyun.com/fulongxu/article/details/23737797

粗略分析一下：为什么这种状态压缩能减少时间运行:

方法1主要3层循环，时间复杂度有(1<<n)*n*M,对应N=12最大时考虑 (1<<12) * 12 * 500 约等于2400万次

方法2枚举遍历，时间复杂度有 n! . 对应N=12为 12! 为479001600 约等于47900万次，可见二者此时时间上可有20倍差距！

方法1：(状态压缩DP)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<list>
#include<stack>
#include<queue>
#include<string>
#include<algorithm>



using namespace std;

int gys(int a,int b){
    int r;
    if(a<b){r=a;a=b;b=r;}
    while(b!=0){
        r =a %b;
        a=b;
        b=r;
    }
    return a;
}

int DP[(1<<12)+5][500+5];
int P[12+1][12+1];
int factorial[12+1]={1};



int main(){

#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("testCase.txt","r",stdin);
#endif

    int T,N,M;
    for(int i=1;i<=12;i++)
        factorial[i]=factorial[i-1]*i;
    //cin>>T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        memset(DP,0,sizeof(DP));

        //cin>>N>>M;
        scanf("%d %d",&N,&M);
        for(int i=0;i<N;i++)
            for(int j=0;j<N;j++)
                //cin>>P[i][j];
                scanf("%d",&P[i][j]);
        DP[0][0] = 1;
        for(int i=0;i<((1<<N)-1);i++){
            int cnt=0;
            for(int j=0;j<N;j++){
                if(i&(1<<j))
                    cnt++;
            }
            for(int j=0;j<N;j++){
                if((i&(1<<j)) == 0){
                    for(int k=0;k<=M;k++){
                        int y= (k+ P[cnt][j]) <= M?(k+P[cnt][j]):M;
                        DP[i+(1<<j)][y] += DP[i][k];
                    }
                }
            }
        }

        if(DP[(1<<N)-1][M]==0)
            printf("No solution\n");
        else{
            int a= DP[(1<<N)-1][M];
            int b= factorial[N];
            int divid = gys(DP[(1<<N)-1][M],factorial[N]);

            a /= divid;
            b /= divid;

            printf("%d/%d\n",b,a);
        }


    }



    return 0;
}

方法2：（枚举遍历，通不过OJ测试）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<list>
#include<stack>
#include<queue>
#include<string>
#include<algorithm>



using namespace std;

int P[12*12]; //P[12][12]
int T;
int N,M;

void swap(int *a ,int *b)
{
	int m ;
	m = *a;
	*a = *b;
	*b = m;
} 
int n= 0;
int accum = 0; // >M 累加
void perm(int list[],int k, int m )
{
	int i;
    int index =0;
    int total = 0;
	if(k > m)
	{
		for(i = 0 ; i <= m ; i++)
		{
			//cout<<"r"<<list[i];
            index = list[i];
            total += P[i*N+index];
            

			 
		}
        if(total >=M)
            accum++;
		//cout<<"/n";
		n++;
	}
	else
	{
		for(i = k ; i <=m;i++)
		{
			swap(&list[k],&list[i]);
			perm(list,k+1,m);
			swap(&list[k],&list[i]);
		}
	}
}

int gys(int a,int b){
    int r;
    if(a<b){r=a;a=b;b=r;}
    while(b!=0){
        r =a %b;
        a=b;
        b=r;
    }
    return a;
}

int pos[12];
int main(){

#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("testCase.txt","r",stdin);
#endif



    //cin>>T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        n = 0;
        accum = 0;
        //cin>>N>>M;
        scanf("%d %d",&N,&M);

        for(int i=0;i<N*N;i++){
            scanf("%d",&P[i]);
        }
        for(int i =0;i<N;i++)
            pos[i] = i;
        perm(pos,0,N-1);

        //cout<< accum<<' '<< n<<endl;
        
        if(accum ==0)
            printf("No solution\n");
        else{

            int divid = gys(accum,n);
            accum /= divid;
            n /= divid;

            printf("%d/%d\n",n,accum);
        }



    }



    return 0;
}