hdu 1907 John（取火柴游戏2）

最新推荐文章于 2021-05-19 03:19:34 发布

風吹过

最新推荐文章于 2021-05-19 03:19:34 发布

阅读量657

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：博弈论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hlmfjkqaz/article/details/12318491

博弈论专栏收录该内容

13 篇文章

订阅专栏

本文探讨了一种两人轮流取火柴的游戏策略，通过定义利他态与利己态来解析不同局面下的最优策略，并给出了实现这些策略的定理与证明。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：n堆火柴，2人每次从任意一堆中取至少1个，也可以将整堆取玩，取得最后一根火柴的人输

定义：若所有火柴数异或为0，则该状态被称为利他态，用字母T表示；否则，为利己态，用S表示。

[定理1]：对于任何一个S态，总能从一堆火柴中取出若干个使之成为T态。

[定理2]：T态，取任何一堆的若干根，都将成为S态。

[定理 3]：S态，只要方法正确，必赢。

[定理4]：T态，只要对方法正确，必败。

接着来解决第二个问题。
定义：若一堆中仅有1根火柴，则被称为孤单堆。若大于1根，则称为充裕堆。
定义：T态中，若充裕堆的堆数大于等于2（若充裕堆数为1，则最后异或一定不为0 ，因为高位只有一个1,异或结果一定不为0），则称为完全利他态，用T2表示；若充裕堆的堆数等于0，则称为部分利他态，用T0（说明孤单堆的数目一定是偶数，否则异或结果定不为0，且因为是偶数，后拿的一定会最后取光所有物品，在第二个问题中先拿的是赢家）表示。

孤单堆的根数异或只会影响二进制的最后一位，但充裕堆会影响高位（非最后一位）。一个充裕堆，高位必有一位不为0，则所有根数异或不为0。故不会是T态。

[定理5]：S0态，即仅有奇数个孤单堆，必败。T0态必胜。

[定理6]：S1态( 一堆充裕堆，x个孤单堆)，只要方法正确，必胜。

证明：
若此时孤单堆堆数为奇数，把充裕堆取完，变成S0；

否则有偶数个孤单堆，将充裕堆取得剩一根。这样，就变成奇数个孤单堆即 S0，由对方取。

由定理5 ，必胜。

[定理7]：S2态不可转一次变为T0态。

[定理8]：S2态可一次转变为T2态。

（若充裕堆>2 （1：充裕堆为偶数，孤单堆为奇数，将一个孤单堆取完）,（2：充裕堆为奇数，若孤单堆为偶数，则取完一个充裕堆，若孤单堆为奇数，则取得一个充裕堆剩1个。））

[定理9]：T2态，只能转变为S2态或S1态。( 若充裕堆>2则可转变为S2 ，若充裕堆=2,则可转变为S1)。

[定理10]：S2态，只要方法正确，必胜.

证明：
方法如下：
1） S2态（①），就把它变为T2态（②）。（由定理8）
2）对方只能T2转变成S2态或S1态（①）（定理9）
若转变为S2, 转向1）
若转变为S1（①）, 这己必胜。（定理5）

定理11]：T2态必输。

综上所述，若是 S2,S1,T0 。则先下的人必胜。

若是 T2,S0 。则先下的人必输。

两题比较：

第一题（全过程）： S2 ->T2 ->S2->T2->... ...->T2->S1->T0（偶数个孤单堆）->...->S0->T0 (全0)。

第二题（全过程）：S2->T2->S2->T2-> …… ->T2->S1->S0（技术个孤单堆）->T0->S0->……->S0->T0(全0)

S1态可以转变为S0态（第二题做法），也可以转变为
T0（第一题做法）。哪一方控制了S1态，他即可以有办法使自己得到最后一根（转变为
T0）,也可以使对方得到最后一根（转变为S0）。
所以，抢夺S1是制胜的关键！
为此，始终把T2态让给对方，将使对方处于被动状态，他早晚将把状态变为S1.

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int t,n,m,s,num;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        num=0;
        s=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            cin>>m;
            if(m>1) num++;
            s^=m;
        }
        if(s)
        {
            if(num>=1)
            cout<<"John"<<endl;
            else
            cout<<"Brother"<<endl;
        }
        else
        {
            if(num>=2)
            cout<<"Brother"<<endl;
            else
             cout<<"John"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}