hdu 4315 Climbing the Hill

哎！还是思路啊。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

解：

Nim:
通常的Nim游戏的定义是这样的：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。
对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an)，它是P-position当且仅当a1^a2^...^an=0，其中^表示异或(xor)运算。
为什么可以a1^a2^...^an=0 就判断先取的一定输呢,首先是如果堆内的石子数量成对相等，这个应该都明白，就是2，2的情况或者4，4，9，9，这样，谁先取谁输，但如果是三组的呢，怎么办，用a1^a2^...^an=0，啊！！简洁的说就是将所有堆数全都分解成二进制堆，譬如9，5，12，谁先取谁输，为什么，就是9的二进制1001分成8和1，5的二进制0101分成4和1，12的二进制1100分成8和4，然后9，5，12就变成1，1，4，4，8，8了这不就是成对了么，这就是为什么a1^a2^...^an=0就可一判断谁先走谁输了。

此题的简化版本是不考虑King的存在，双方一直走到不能走的一方为负。此时的解法是根据人数的奇偶性：把人从上顶向下的位置记为a1,a2,...an, 如果为偶数个人，则把a(2i-1)和a(2i)之间的距离当做一个Nim堆，变成一共n/2堆的Nim游戏；如果为奇数个人，则把山顶到a1的距离当做一个Nim堆，a(i*2)到a(i*2+1)的距离当做Nim堆，一共(n+1)/2堆。

考虑King的情况和上述版本几乎一致，只要把King当作普通人一样处理即可。除了两种特殊情况：1. 当King是第一个人时，Alice直接胜 2. 当King是第二个人且一共有奇数个人时，第一堆的大小需要减1。

题意：如上图所示：有 n 个球分别在 n 个不同的位置，Alice 和 Bob 依次选择一个球向上移动，上面有球不能越过，谁最后把红球移出谁就赢！
分析：
1、n 为偶数时：问题简化一下，假设全都是黄球，谁把最后一个球移出谁就赢
（a1,a2） (a3,a4) …… ( a(2*n-1) , a(2*n) ) ……（a(n-1),an）其中第 i 个球与第 i+1 个球是相邻的，i 为基数，谁面对这个状态谁就必输。
理由很简单，先手移动第 i 个球，后手移动第 i+1 个球，使之仍然保持必赢状态。
回到原问题谁先移出红球谁就赢，假设红球不是第一个球（因为第一个球Alice直接就赢了）
很显然如果红球在偶数位置后手必赢，如果在基数 i 位置，则只需将 第 i-1 个球移到第一个位置就ok了。
所以与红球位置无关。至于产生这个状态（a1,a2） (a3,a4) …… ( a(2*n-1) , a(2*n) ) ……（a(n-1),an），那么就是简单的 Nim问题了
2、n 为基数时：假设红球是第1、2个球。
（a1） (a2,a3)（a4,a5）…… (a(2*n),a(2*n+1)) …… (a(n-1),an) 谁面对这个状态必赢！理由是先手直接把 a1 取走然后就变成上面的情况了，

如果红球在第 2 个位置那么就是必输状态。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define N 1005
int sg[N],a[N];

void SG()
{
   for(int i=0;i<N;i++)
    sg[i]=i;
}

int main()
{
    int i,j,n,k,res;
    SG();
    while(~scanf("%d%d",&n,&k))
    {
        res=0;
        for(i=0;i<n;i++)
          scanf("%d",&a[i]);
        if(k==1) { puts("Alice"); continue;  }
        i=1;
        sort(a,a+n);
        if(n&1)
        {
           i++;
           if(k==2) a[0]--;
           res^=sg[a[0]];
        }
        for(i;i<n;i=i+2)
        {
           res^=sg[a[i]-a[i-1]-1];
        }
        if(res) puts("Alice");
        else puts("Bob");
    }
    return 0;
}