C++01背包问题

一、01背包

概念：

给你一个容量为C的背包，有n个物品。每个物体都有两个属性，即重量(w)和价值(v)。如果背包剩余容量大于此物品的重量，即可放入，同时产生这个物品的价值。
问：如何将物体放入背包才能使放入物体的总价值最大，同时输出这个值？

为何不用贪心？

证明：

看到这个问题，你可能会想到使用贪心，我来反驳一下：

01 背包中，物品只能完整选择，选择某物品会占用背包空间，可能导致无法选择其他更有价值的物品组合。此时，贪心算法的 “局部最优”可能会排斥掉更优的全局组合。

举个反例：
背包最大承重为5，有3个物品，物品如下：

物品	重量	价值	性价比（≈）
A	4	5	1.25
B	3	4	1.33
C	3	4	1.33

贪心（按单位价值排序）： 先选择 B 或 C，无法容纳其他物品，总价值是4。

最优解：选择A，总价值为5。

科普：

有一种背包叫做分数背包问题，可以把某一种物品分割放入背包中，这时你就可以利用这种贪心方法。

dp做法：

1. 状态定义

设 dp[i][j] 表示：考虑前 i 个物品（编号从 1 到 i），且背包承重上限为 j 时，能获得的最大总价值。

• 其中，i 的范围是 0 ≤ i ≤ n（i=0 表示无物品）；
• j 的范围是 0 ≤ j ≤ C（j=0 表示背包承重为 0）。

2. 初始化

• 当 i=0（无物品）时，无论背包承重 j 多大，总价值均为 0，即 dp[0][j] = 0（0 ≤ j ≤ C）。
• 当 j=0（背包承重为 0）时，无论考虑多少物品，总价值均为 0，即 dp[i][0] = 0（0 ≤ i ≤ n）。

3. 转移方程

对于第 i 个物品（重量 w[i]，价值 v[i]），有两种选择：

• 不放入：此时总价值与 “考虑前 i-1 个物品、承重 j” 的情况相同，即 dp[i][j] = dp[i-1][j]。
• 放入（需满足 j ≥ w[i]）：此时总价值为 “前 i-1 个物品在承重 j - w[i] 时的最大价值” 加上当前物品的价值，即 dp[i][j] = dp[i-1][j - w[i]] + v[i]。

因此，转移方程为：

if (j < w[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i]] + v[i]);

4. 最终答案

考虑所有 n 个物品，且背包承重为 C 时的最大价值，即 dp[n][C]。

5. 时间复杂度与空间复杂度

• 时间复杂度：O(n*C)，其中 n 是物品数量，C 是背包最大承重。需遍历 n*C 个状态，每个状态的计算为 O(1)。
• 空间复杂度：
  • 原始二维数组：O(n*C)（存储 n+1 行、C+1 列的状态）。