剑指offer之跳台阶&变态跳台阶

跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

分析

本题就是一个简单的斐波那契数列问题。

代码

class Solution {
public:
    int jumpFloor(int n) {
       /* //方法一
        int prev = 0;
        int cur = 1;
        for(int i = 1; i <= n ; ++i){
            int tmp = cur;
            cur = prev + cur;
            prev = tmp;
        }
        return cur;
        */
       //方法二：斐波那契数列通项公式
        double s = sqrt(5);
        return floor((pow((1+s)/2, n+1) + pow((1-s)/2, n+1))/s + 0.5);  
    }
};

变态跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

方法一分析

当台阶数为n时，可以分为以下步骤来完成：
设第一次跳的台阶数为s，跳台阶方式数为T，则：
(1)s=1时，$T(n) = T(n-1)$
(2)s=2时，$T(n) = T(n-2)$
.
.
.
(n)s=n时，$T(n) = T(0) = 1$
所以总的跳台阶方式数T可以表示为：

$$T(n) = T(0) + T(1) + T(2) + … + T(n-1)$$
由于 $T(0) = T(1) = 1$，所以 $T(n) = 2^{(n-1)}$

代码

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
     long long result=(long long)pow(2,number-1);
    return result;
    }
};

方法二分析

1、 当$n = 1$ 时， 只有一种跳法，即1阶跳：$Fib(1) = 1$;
2、当$n = 2$ 时， 有两种跳的方式，一阶跳和二阶跳：

$$Fib(2) = Fib(1) + Fib(0) = 2$$
3、当 $n = 3$ 时，有三种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有 $Fib(3-1)$中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有 $Fib(3-2)$中跳法；第一次跳出三阶后，后面还有 $Fib(3-3)$中跳法 $$Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+Fib(0)=4$$
n、当 $n = n$ 时，共有n种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有 $Fib(n-1)$中跳法； 第一次跳出二阶后，后面还有 $Fib(n-2)$中跳法………第一次跳出n阶后，后面还有 $Fib(n-n)$中跳法.
$$Fib(n) =Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-1)$$ 又因为 $$Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+.......+Fib(n-2)$$
两式相减得： $$Fib(n)-Fib(n-1)=Fib(n-1)$$ $$Fib(n) = 2*Fib(n-1)\ \ \ n >= 2$$

代码

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
     if(number<= 0)
        return 0;
    if(number==1)
        return 1;
    long long FibN = 1; 
    for(int i=2;i<=number;i++)
    {
        FibN *= 2;
    }
    return FibN;      
    }
};

注：代码在牛客网平台调试通过。调试平台：链接

参考资料：

1、http://www.acmerblog.com/offer16-jiudu-1389-4082.html
2、https://leetcode.com/discuss/16866/basically-its-a-fibonacci