解析组合技巧

介绍

解析组合的主要思想是利用数学分析的方法来分析组合对象的性质，主要用于“组合类“的计数问题，它的最基本形式类似初等组合数学里面的母函数方法。

我们考察如下问题：

考虑一个$n+2$边的凸多边形$M$，每个顶点标注为$0\ldots n+1$（逆时针）。一个三角剖分是将$M$分为一系列内部不相交的三角形。问：有多少种剖分方法？

这是一个典型的组合计数问题，由于对于任意三角剖分使得$M$的每条边属于唯一的三角形，所以我们考虑边$(0,n+1)$对应的三角形的另一个顶点$A$。容易知道$A$一共有$n$种可能，每种可能将$M$分成两个分别具有$i,j$个顶点的凸多边形，使得$i+j=n-1$。记$a_n$为$n+2$个顶点的凸多边形三角剖分个数，我们可以的到如下递推式（不难发现这就是Catalan数）：

$$a_n=\sum_{i=0}^{n-1}a_ia_{n-i-1},(n\ge 2), \ a_0=a_1=1.\qquad\qquad (1)$$
记 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n+\cdots$为 $a_n$的组合生成函数，通过观察（并不十分显然）可以发现：
$$f(x)=1+xf(x)^2\qquad\qquad (2)$$
所以通过泰勒展开式可以的到 $$a_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}.$$

解析组合思想

事实上我们上面的例子所用的方法就是传统的组合生成函数法，我们先通过组合直观得到了递推式$(1)$，然后再将其转化成母函数对应的函数方程$(2)$。但第二个转换过程并不十分直观，解析组合的思想即是通过一些组合算子直接将组合直观转换成其生成函数的函数方程。

定义（组合类）：一个组合类是一个可数集合$\mathcal{A}$，以及一个大小函数 f:=S→N