差分算子

差分算子

定义1：设$\mathcal{F}=\{f(x+z)\mid z\in \mathbb{Z}\}$为一组符号函数集，记$\displaystyle\mathcal{A}=\{\sum_{i=0}^nn_if_i\mid n_i\in\mathbb{Z},n\in \mathbb{N},f_i\in \mathcal{F}\}$为$\mathcal{F}$生成的自由Abel群，同时其自然地构成$\mathbb{Z}$模。

定义2：令$H=\mathrm{Hom}(\mathcal{A},\mathcal{A})$为$\mathcal{A}$到自身的$\mathbb{Z}$同态的全体。容易知道$H$构成环，其乘法运算即为同态的合成，加法定义为：

(f+g)(a)=f(a)+g(a),a∈A.