Efficient monolithic immersed boundary projection method for incompressible... 阅读笔记

Efficient monolithic immersed boundary projection method for incompressible flows with heat transfer

https://doi.org/10.1016/j.jcp.2023.111929

时间格式相关的处理

这处理是什么意思完全看不懂

就是说前面一项是都是 n+1 后面一项都是 n

然后现在改成 n+1 和 n 组合，n 和 n+1 组合

这就是所谓的交错时间？

得到他这个矩阵形式的控制方程

NS 方程

$$\frac{{\mathbf{u}}^{n+1}-{\mathbf{u}}^n}{\Delta t}+\frac{1}{2}({\mathbf{u}}^{n+1}\cdot \mathcal{G}{\mathbf{u}}^{n+1}+{\mathbf{u}}^n\cdot \mathcal{G}{\mathbf{u}}^n)=-\mathcal{G}{p}^{n+1/2}+\frac{1}{2\mathrm{Re}}(\mathcal{L}{\mathbf{u}}^{n+1}+\mathcal{L}{\mathbf{u}}^n)+{\mathcal{H}}_m{\mathbf{F}}^n+\mathcal{F}({\theta }^{n+1/2})+{\mathbf{mbc}}^{n+1/2}$$

代入他那个线性化

$$\frac{{\mathbf{u}}^{n+1}-{\mathbf{u}}^n}{\Delta t}+\frac{1}{2}{\mathcal{N}}_m({\mathbf{u}}^{n+1})=-\mathcal{G}{p}^{n+1/2}+\frac{1}{2\mathrm{Re}}(\mathcal{L}{\mathbf{u}}^{n+1}+\mathcal{L}{\mathbf{u}}^n)+{\mathcal{H}}_m{\mathbf{F}}^n+\mathcal{F}({\theta }^{n+1/2})+{\mathbf{mbc}}^{n+1/2}$$

移项，验证一下左端项……

$$-\mathcal{F}({\theta }^{n+1/2})+\frac{1}{\Delta t}{\mathbf{u}}^{n+1}+\frac{1}{2}{\mathcal{N}}_m({\mathbf{u}}^{n+1})-\frac{1}{2\mathrm{Re}}\mathcal{L}{\mathbf{u}}^{n+1}-{\mathcal{H}}_m{\mathbf{F}}^n+\mathcal{G}{p}^{n+1/2}$$

真的跟他是一样的

无敌了

他这个的构造的第一行是能量方程，第二行是动量方程，第三行是能量外力的插值方程，第四行是动能外力的插值方程，都是 IBM 的经典核函数插值

然后他这个 cbc mbc ebc 都是什么啊，我无语了

他只说了边界条件会纳入 cbc mbc ebc

但是 cbc mbc ebc 它本身都是什么啊，无语

我大概理解 bc 是 boundary condition 的缩写，m 是动量的缩写，e 是能量的缩写

然后这里明确了速度的散度是 cbc

分离速度梯度

他这个很神奇啊……

最初构造一个大的线代方程组

第一行是能量方程，第二行是动量方程

第三行是能量外力的插值方程，第四行是动能外力的插值方程，都是 IBM 的经典核函数插值

第五行是速度散度 = cbc 的 n+1 时刻

然后他对这个矩阵 A 分块，分块之后的矩阵再通过一个近似，把左上角的那个块 A1 的逆视为 dt 乘以单位矩阵，使得分块之后的矩阵 A 又可以被拆成两个矩阵 B 乘 C

B 里面就可以出现散度算子*梯度算子，把 C 直接和向量相乘，得到新的向量，新的向量里面还是那个压强变量

于是 B 乘以这个新向量就有散度算子*梯度算子*压强 = cbc = 速度散度 也就是泊松方程

而且如果细想的话，他这个泊松方程里面就是多一个 lambda* 的那个东西

A lambda = R 的话，lambda 本身就是 温度 速度 能量外力 动量外力 的向量

lambda* 通过 A1 lambda* = R1 解出来，A1 是 A 的左上角，R1 是 R 的前四项，那 lambda* 似乎也应该具有类似的物理意义

然后 lambda* 的散度出现在泊松方程，就……奇妙

解耦温度和速度

他这里就是再次用了一次 A2 的逆的近似，使得能够 LU 分解

但是我看不出来最后得到这个分解式之后会有什么效果呢？

他最后就说一句，因为是交错时间离散方案，所以温度和速度自动解耦，32 33 很容易解

有点东西……

就，它两次 LU 分解

第一次分解出了压力泊松方程和应用压力梯度两个公式

第二次分解出了温度的对流扩散，速度的对流扩散加浮力项

就很神奇

求解步骤

他最终得到的步骤就很清晰

确实印证了我之前的想法，就是，如果他这里写成了单独的步骤，那么就是说明是可以单独求解

公式推导

动量方程

NS 方程

u n + 1 − u n Δ t + 1 2 ( u n + 1 ⋅ G u n + 1 + u n ⋅ G u n ) = − G p n + 1 / 2 + 1 2 R e ( L u n + 1 + L u n ) + H m F m + F ( θ n + 1 / 2 ) + m b c n + 1 / 2 \dfrac{\mathbf{u}^{n+1}-\mathbf{u}^{n}}{\Delta t} + \dfrac{1}{2}(\mathbf{u}^{n+1} \cdot \mathcal G \mathbf{u}^{n+1} + \mathbf{u}^{n} \cdot \mathcal G \mathbf{u}^{n}) = -\mathcal G p^{n+1/2}+\dfrac{1}{2\mathrm{Re}}(\mathcal L \mathbf{u}^{n+1} + \mathcal L \mathbf{u}^{n}) + \mathcal H_m \mathbf{F}_m + \mathbf{\mathcal F}(\theta^{n+1/2}) + \mathbf{mbc}^{n+1/2}