用于模拟颗粒流的直接强迫浸没边界法 An immersed boundary method with direct forcing 笔记

原文：Uhlmann, Markus. “An immersed boundary method with direct forcing for the simulation of particulate flows.” Journal of computational physics 209.2 (2005): 448-476.

概述

使用固定且均匀的计算网格来计算悬浮刚性颗粒周围的不可压缩粘性流

主要思想是将 Peskin 的正则化 delta 函数方法 [Acta Numerica 11 (2002) 1] 纳入流固相互作用力的直接公式中，以便允许欧拉和拉格朗日表示之间的平滑转换，同时避免时间步长的严格限制。该技术是在有限差分和分数步环境中实现的。

引言

处理悬浮颗粒计算的一种方法是在与固体物体界面处无滑移条件下求解瞬态流体域中的纳维-斯托克斯方程。然而，这意味着在模拟过程中使网格适应粒子的不同位置，并导致大量的计算成本。这种技术的一个例子是 Hu 等人的任意拉格朗日-欧拉粒子移动器。 [3]已成功应用于各种沉降问题

为啥这意味着在模拟过程中使网格适应粒子的不同位置？
这应该一开始就不是说的固定欧拉网格的思路，而是一开始就是默认要创建一个贴体网格来求解

为了避免频繁的重新划分网格，可以在固定网格上求解流动方程，同时通过添加到纳维-斯托克斯方程中的适当公式化的源项来强加固体的存在。这类技术被称为“虚拟域方法”。 Peskin 的浸没边界 (IB) 方法是其先驱之一，最初是为柔性膜周围的流动而设计的，特别是人类心脏中的流动 [10]。基本思想是确定任意（拉格朗日）位置处的奇异力分布，并通过正则化狄拉克δ函数将其应用于固定参考系中的流动方程。同时，膜以局部流速移动。该问题的附加力项只是膜变形及其弹性特性的函数。 Peskin δ 函数的精心设计对该方法的效率至关重要

在参考文献[12,4,9]以及相关研究[13,14]中，奇异力是通过Goldstein等人首先提出的反馈机制获得的。 [15]并被称为“虚拟边界法”。其中，与速度（或位置）的局部期望值的偏差会产生相反方向的力，该力倾向于恢复目标值。换句话说，虚拟弹簧和阻尼器系统连接到虚拟边界点，局部强制执行预定行为。这种流固相互作用力的间接公式的一个不良特征是引入了额外的自由参数。在实践中，弹簧刚度和阻尼常数的值需要根据问题来确定。此外，需要解决弹簧阻尼系统振荡的特征时间尺度，这可能导致时间步长受到严格限制[12,14]

为了避免虚拟边界力的弊端，Fadlun 等人。 [16]引入了力项的直接公式。粗略地说，该方法包括修改离散动量方程的隐式矩阵的条目，以便在每个时间步后获得边界点处的所需速度。作者证明该方案不受虚拟边界方法的时间步长限制。

modifying the entries of the implicit matrix of the discretized momentum equation
其中这个 entries 翻译成条目，怎么看上去这么怪
感觉翻译成元素更好
The numbers, symbols or expressions in the matrix are called its entries or its elements

金等人。 [5]后来提出了上述直接强迫方法的显式变体，它允许保持标准有限差分方法的原始简单矩阵结构。

在这两个参考文献 [16,5] 中，目标都是复杂域中流的有效计算。尽管法德伦等人。 [16]提出了一个涉及移动边界的流动的例子，但没有证明相对运动期间边界力的平滑性。后来人们认识到，将固定网格节点处的值和任意位置边界处的值相关联的插值程序可能会导致力振荡，这对于颗粒流模拟的目的来说是不希望的[17]

Kajishima 和 Takiguchi [6] 使用一种极其简单的方案来模拟流固相互作用。在时间步结束时，速度被明确设置为每个固体子域内粒子的刚体速度。

该方法使用每个计算单元的固体体积分数作为权重因子，将界面、流体和固体速度平滑地连接起来。该方法非常有效，可以在颗粒雷诺数为 350 时对 Oð1000Þ 颗粒的沉降进行长时间积分。尽管这种策略避免了作用在粒子上的水动力的虚假振荡，但该力仍然表现出很强的网格依赖性[17]。此外，应该提到的是，所得的流场并不能验证颗粒附近的无发散条件。

Glowinski 等人采取了不同的方法。 [18]他们在有限元环境中通过拉格朗日乘子技术将刚体运动施加到粒子占据的区域上。在随后的模拟中，Glowinski 等人。 [7]使用一阶精确的四步算子分割方案进行时间离散化，包括更新粒子位置时减少局部时间步长。该方法适用于各种沉降问题 [7] 以及狭窄间隙中 Oð1000Þ 球体的流化 [19]。然而，应该记住，使用基于四面体单元的网格系统可能会破坏问题的固有对称性。帕坦卡等人。 [20]提出了一种相关的拉格朗日乘子技术，其中变形率张量而不是速度被施加在粒子子域中，从而简化了不规则形状粒子的处理。 Patankar [21] 提出了进一步的改进，他展示了如何在施加刚性约束时消除迭代过程的需要。在审查过程中，我们注意到该方案同时在控制体积环境中实现了[22]，并成功应用于颗粒流的 DNS

最后，应该提到的是，Zhang 和 Prosperetti [8] 最近提出了一种基于球形粒子附近局部斯托克斯动力学的半解析方法。与外部（纳维-斯托克斯）解的匹配是迭代执行的。然而，到目前为止，这些作者只报道了二维沉降问题的计算。

目前工作的目标是开发一种虚拟域方法，其中强迫项不是通过任何类型的反馈机制获得的，并且尽可能地抑制固定网格引起的振荡。我们将提出一种策略，一方面，将原始 IB 方法在拉格朗日和欧拉位置之间平滑传递物理量 quantities 的能力，另一方面，与直接、明确地表述流固相互作用力的优点结合起来。因此，本方法比现有的直接方法产生更小的振荡粒子力，并且与间接方法相比产生更高的效率。

问题表述

不可压流的 NS 方程

其中 u 是流体速度矢量，p 是用流体密度标准化的压力，f 是体积力项。这些方程在整个域 X 中强制执行，包括实际流体域 ${\Omega }_f$ 和 Np 个悬浮固体物体占据的空间 ${\cup }_{i=1}^{N_p}{S}_i$（参见图 1）。在第 3 节中，力项 f 将以这样的方式表述，以表示固体对流体的作用

除了提供适当的初始条件和外边界C条件外，我们还需要描述悬浮颗粒在重力和水动力作用下的运动。该主题将在第 4 节中讨论

固体对流体的作用

欧拉和拉格朗日变量的空间离散

固定笛卡尔网格 $g_h$

它由固定的网格点 ${\mathrm{x}}_{ijk}=(i,j,k)h$ 组成

覆盖了域 $\Omega$

$h$ 为网格宽度

嵌入对象被定义为 $N$