S变换计算过程(Stockwel transform)

看文献的过程中发现很多文章对于S变换的原理陈述不清，故做一个简单的思路整理，重点在于计算过程，很多严格的限制条件及数学语言就不在这里赘述了。

S变换的快速计算主要利用傅里叶卷积定理，即函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。

首先，S变换的公式为：
$$S(\tau ,f)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x(t)w(\tau -t)e^{-j2\pi ft}dt$$
其中$x(t)$是信号，$w(t)$是窗函数，S变换中窗函数为高斯窗。S变换计算思路如下：

1. 将公式书写顺序改为：
   $$S(\tau ,f)={\int }_{-\infty }^{+\infty }[x(t)e^{-j2\pi ft}][w(\tau -t)]dt$$
   则可以将$S(\tau ,f)$看成是$h(t)=[x(t)e^{-j2\pi ft}]$与$w(t)$的卷积
2. 此时根据傅里叶卷积定理则：
   $$F[S(\tau ,f)]=F[{\int }_{-\infty }^{+\infty }[x(t)e^{-j2\pi ft}][w(\tau -t)]dt]=F[h(t)\ast w(t)]=H(\omega )W(\omega )$$
   其中$F$表示傅里叶变换，$H(\omega )$与$W(\omega )$分别是$h(t)$与$w(t)$的傅里叶变换。
3. 分别计算$h(t)=[x(t)e^{-j2\pi ft}]$与$w(t)$的傅里叶变换，则：
   $$H(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }[x(t)e^{-j2\pi ft}]e^{-j2\pi \omega t}dt=X(f+\omega )$$
   $$W(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }[w(t)]e^{-j2\pi \omega t}dt$$
4. 则S(τ,f)=F−1{F[S(τ,f)]}=F−1{H(ω)W(ω)}=F−1{X(f+ω)W(ω)}S(\tau, f)=F^{-1}\{F[S(\tau, f)]\}=F^{-1}\{H(\omega)W(\omega)\}=F^{-1}\{X(f+ \omega)W(\omega)\}S(τ,f)=F−1{F[S(τ,f)]}=F−1{H(ω)W(ω)}=F−1{X(f+ω)W(ω)}

综上，计算过程可以简述为：
计算信号的傅里叶变换$X(\omega )$ $\to$ 计算窗函数的傅里叶变换$W(\omega )$$\to$将信号傅里叶谱移频然后与窗函数傅里叶谱相乘得到$X(f+\omega )W(\omega )$$\to$ 傅里叶反变换。