树（prufer序，dp，排列组合）

最新推荐文章于 2024-07-16 22:14:41 发布

Hany01

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分类专栏： prufer序 DP 排列组合 Simulation

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hhaannyyii/article/details/78947440

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本文探讨了一个关于从n个点中选取s个点形成有标号无根树的问题，并提出了利用prufer序列和动态规划的方法来解决该问题。通过定义状态dp[i,j,k]表示前i个节点中选了j个节点并填充了k位的情况，最终求得所有可能的树形结构数量。文章还提供了一份完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

有 $n$ 个点，第 $i$ 个点的限制为度数不能超过 $a_i$ 。现在对于每一个 $s(1\le s\le n)$ ，问从这 $n$ 个点中选出 $s$ 个点组成有标号无根树的方案数 $\bmod 1004535809$ 。

Solution

参考博客
由于每一个prufer序对应了一棵唯一的树且prufer序中每个数的出现次数为该节点的度 $-1$ ，考虑在prufer序上进行dp。
设 $dp_{i,j,k}$ 表示前 $i$ 个节点中，选了 $j$ 个节点，一共填了 $k$ 位。
已知选了 $s$ 个节点，每个点的出现次数为 $C_i$ ，则方案数为：

s ! C 1 ! C 2 ! \dots C s !

$\frac{s!}{C_1!C_2!\ldots C_s!}$
为了方便，我们将

dpi,j,k d p i , j , k $dp_{i,j,k}$ 除以

s! s ! $s!$ ，那么得到转移方程就非常显然了：

(f[i + 1][j][k] += f[i][j][k]) %= Ha;//不选第i+1个点
(f[i + 1][j + 1][k + l] += f[i][j][k] * ifac[l] % Ha) %= Ha;//将l个(i+1)点加入prufer序
//ifac[l]为l阶乘的逆元

Code

/**************************
Happy New Year!
Au: Hany01
Date: Jan 1st, 2018
Prob: tree
Email: hany01@foxmail.com
**************************/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = (j); i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define fir first
#define sec second
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define ALL(a) (a).begin(), (a).end()
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define Ha (1004535809)

template <typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read()
{
    register int _, __; register char c_;
    for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); c_ < '0' || c_ > '9'; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
    for ( ; c_ >= '0' && c_ <= '9'; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

inline void File()
{
    freopen("tree.in", "r", stdin);
    freopen("tree.out", "w", stdout);
}

template<typename T> inline void mod(T &x) { if (x >= Ha) x -= Ha; }

const int maxn = 105;

int n, a[maxn];
ll fac[maxn], ifac[maxn], f[maxn][maxn][maxn];

inline ll Pow(ll a, ll b) { ll Ans = 1; for ( ; b; b >>= 1, a = a * a % Ha) if (b & 1) (Ans *= a) %= Ha; return Ans; }

inline void Init()
{
    n = read();
    For(i, 1, n) a[i] = read();
    fac[0] = 1;
    For(i, 1, n) fac[i] = fac[i - 1] * i % Ha;
    ifac[n] = Pow(fac[n], Ha - 2);
    Fordown(i, n, 1) ifac[i - 1] = ifac[i] * i % Ha;
}

int main()
{
    File();
    Init();
    //dp[i][j][k] means till the i_th node, you have choosed j kinds of them and k nodes altogether.
    f[0][0][0] = 1;
    rep(i, n) rep(j, i + 1) rep(k, n - 1) {
        if (!f[i][j][k]) continue;
        mod(f[i + 1][j][k] += f[i][j][k]);
        rep(l, min(n - k - 1, a[i + 1]))
            mod(f[i + 1][j + 1][k + l] += f[i][j][k] * ifac[l] % Ha);
    }
    printf("%d", n);
    For(i, 2, n) cout << ' ' << f[n][i][i - 2] * fac[i - 2] % Ha;
    putchar('\n');
    return 0;
}
//十年磨一剑，霜刃未曾试。
//    -- 贾岛《剑客 / 述剑》