introduction to algorithms sorting lesson_5 Heap sorting(堆排序)

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hgzhgzhgz/article/details/39452887

与前面介绍的几种排序方式不同，Heap sort 堆排序是一种原地排序算法，不需要像合并（归并）排序那样要额外的储存空间

其运行时间为 O(nlogn) ，与合并排序相同。

对堆的简单介绍：堆一般为二叉堆是一种数据结构

最小堆：

在数组中，由于下标从0开始，则根i的左右节点分别为2i+1 和2i+2

堆在数组中的储存一般为：从上到下，从左到右，因为二叉堆都是完全二叉树，

则在有n个节点的堆中，n/2……n均为叶子节点，这一性质在后面的堆排序中至关重要

堆排序基本思想：

一、建立一个最大堆保证首元素为最大元素

二、将首元素data[0]与最末尾元素data[n]（较小）的交换，则末尾元素data[n]成为最大元素。

三、此时，最大堆性质被破坏，重新调整data[0……n-1],使其重新成为一个最大堆，

则data[0]又成为最大元素，再将data[0] 与data[n-1]交换，以此类推，交换到data[1]时即可停止循环

因此要解决三个问题：1是如何调整堆，2是如何建一个最大堆，3是如何循环交换调整

先来看第一个问题：如何调整堆

调整堆就是用根节点与其左右孩子节点比较，将较大的值上浮，较小的值下降

1 较小则与最大的 3 交换，由于交换后右孩子从3变为1，不能保证右孩子为根节点的树为最大堆，则继续调整右孩子，直到叶子节点结束，这样就保持了堆的性质

这样自然而然就产生了递归的方法与结果

代码为：MaxHeapfiy函数实现

/***********Heap  sorting**************/
#define  leftchild(i)  (2*i+1)  //下标从0开始 左孩子
#define  rightchild(i)  (2*i+2) //下标从0开始 右孩子
void max_Heapify(int data[],int heapsize,int i) //保持最大堆性质 i为最大堆根节点
{
	int l=leftchild(i);
	int r=rightchild(i);
	int largest;
	if (l<=heapsize&&data[i]<data[l])        //比较树节点
		largest=l;
	else
		largest=i;
	if (r<=heapsize&&data[largest]<data[r])
	    largest=r;
	if (largest!=i)                         //不为最大堆 则交换值
	{
		int tmp=data[largest];
		data[largest]=data[i];               
		data[i]=tmp;                        //此时最大堆性质可能破坏
		max_Heapify(data,heapsize,largest);  //递归调用调整交换后的树节点，保持最大堆性质
	}
}

再来看第二个问题：如何建立一个最大堆

这就要用到第一个函数maxHeapfiy,从前面的结束可知，madHeapfiy是从根节点往下调整的，并不能用max_Heapfiy(data,heapsize,0)建立一个最大堆，

因为后面的元素可能比根节点要大，max_Heapfiy只是起到将较小的值下降的作用，使较大的值上浮一次，但不能让最大的值上浮达根节点

前面已经说过，二叉堆是一个完全二叉树，在有n个节点的堆中，n/2……n均为叶子节点，剩余节点均不为叶子节点

由此我们就用这种思路，若用由底层向上的节点顺序调用max_Heapfiy函数，即 i 以 n/2……0的顺序调用max_Heapfiy

便可以生成一个最大堆

代码：buildMaxHeap

void buildMaxHeap(int data[],int len)      //建造最大堆
{
	for (int i=len/2;i>=0;i--)            //data[LEN/2……LEN]均为叶子节点	                                 
		max_Heapify(data,len,i);          //对剩余节点从底向上调整（最后是DATA[0])，则可得到最大堆
}

运行结果如图所示：data [ ]={1,0,2,9,3,1,5,8,9,10}

可以看到运行后最大堆已经建立啦，但原数组并没有排好序，只是使得首元素为最大元素10

最后让我们轻松地解决第三个问题：完成堆排序

直接贴代码：

/********堆排序算法，非递减排序*********/
void heapsort(int data[],int len)       
{
	buildMaxHeap(data,len);       //构造最大堆
	int heapsize=len;
	for (int i=len;i>0;i--)      //data[0]为每次调整后最大元素，与末尾元素data[i]交换
	{
		int tmp=data[i];
		data[i]=data[0];
		data[0]=tmp;
		heapsize--;
		max_Heapify(data,heapsize,0);//调整，使data[0]为最大元素
	}
}

测试：

#define getArraySize(arrayName) (sizeof(arrayName)/sizeof(arrayName[0])) //获取数组长度

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int data_test[10]={1,0,2,9,3,1,5,8,9,10};
	prtarray(data_test,getArraySize(data_test));//打印原数组
	heapsort(data_test,getArraySize(data_test)-1);//堆排序
	printBinTree(data_test,getArraySize(data_test));//以二叉树的形式打印数组
	prtarray(data_test,getArraySize(data_test));//打印排好序的数组
	system("pause");
	return 0;
}

运行结果：