可汗学院公开课——统计学学习：12-34

样本和总体

总体均值$u=\frac{{\sum }_{i=1}^N{x}_i}{N}$，样本均值$\overline{X}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}$

总体方差

总体方差${\sigma }^2=\frac{{\sum }_{i=1}^N{\left(x_i-\mu \right)}^2}{N}$

样本方差

样本方差$S_{\text{n}}^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}{n}$，这个公式计算的样本方差通常会低估总体方差。
无偏样本方差$S^2=S_{n-1}^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}{n-1}$，总体方差的无偏估计。

标准差

$\sigma$，S

随机变量

随机变量：X、Y、Z，区别于传统变量之处在于，它更像是从随机过程映射到数值的函数，包括离散和连续随机变量。

概率密度函数

概率密度函数从负无穷到正无穷求积分为1.

二项分布

$p(x=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$
期望值：$E\left(X\right)=np$
方差：$np\left(1-p\right)$

泊松分布

$E\left(X\right)=\lambda =np$
推导可得，$p\left(x=k\right)={\lim }_{n\to \infty }{C}_n^k{\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{n-k}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$

大数定律

当n趋向于无穷时，样本均值与期望值近似相等。

正态分布

$p(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$，随着n的增加，正态分布和二项分布的差值越来越小。
累积分布函数：$CDF(x)={\int }_{-\infty }^{x}p(x)dx$
z分数：$\frac{x-\mu }{\sigma }$
标准正态分布：均值为0，方差为1.
经验法则：1$\sigma$ 68%, 2$\sigma$ 95%, 3$\sigma$ 99.7%