01背包问题和完全背包问题

01背包问题
有N件物品和一个容量为C的背包。第i件物品的体积是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

w[i] 表示物品i的体积
v[i] 表示物品i的价值
C 表示背包的容量
dp[i][c]表示前i件物品恰放入一个容量为c的背包可以获得的最大价值

//dp[i][c] = max(dp[i-1][c],dp[i-1][c-w[i]]+v[i])
//降维后:dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i])
max里的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是状态dp[i-1][c]和状态dp[i-1][c-w[i]]的值

//01 背包 降维:
memset(dp,0,sizeof(dp)); //init

for(int i=1; i<=n; i++)
for(int c=C; c>=w[i]; c–) //注意,c要由C倒推到w[i],c < w[i]时,dp[c] = dp[c]; 所以不用写了…
dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i]); //c要倒推才能保证在推dp[c]时,max里的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是状态dp[i-1][c]和状态dp[i-1][c-w[i]]的值

完全背包问题

有N种物品和一个容量为C的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大

状态转移方程:
dp[i][c] = max(dp[i-1][c],dp[i][c-w[i]]+v[i])
降维后: dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i]) max里的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是状态dp[i-1][c]和状态dp[i][c-w[i]]的值

//完全 背包 降维:
memset(dp,0,sizeof(dp)); //init

for(int i=1; i<=n; i++)
for(int c=w[i]; c<=C; c–) //注意,c要正推
dp[c] = max(dp[c],dp[c-w[i]]+v[i]); //c要正推才能保证在推dp[c]时,max里的dp[c]和dp[c-w[i]]保存的是状态dp[i-1][c]和状态dp[i][c-w[i]]的值