noi2011 道路修建(树形dp)

这里写图片描述

无根树,揪出结点1当根。

dfs求f[i]子树大小。

对于点i以及与之相连的点j,可知i一侧的点数为f[i],j一侧为n-f[i],故修路费用即为e[i].v*abs(n-2*f[e[i].y])。e[i].v是道路长度。

注意,由于是递归求法,从下往上计算,故j必然是i的上层。为了避免双向边的重复统计和错误统计(方向反了),code里用了一个玄学操作。即更新时标记那条边。

inline void insert(int x,int y,int v)
{
    e[++tott].y=y;e[tott].v=v;e[tott].down=0;
    e[tott].next=linkk[x];linkk[x]=tott;
}

void dfs(int x)
{
    vis[x]=1;
    for(int i=linkk[x];i;i=e[i].next)
        if(!vis[e[i].y])
        {
            dfs(e[i].y);
            e[i].down=1;//这条边是向下走的。
            f[x]+=f[e[i].y];            
        }
    ++f[x];
    return;
}

void init()
{
    read(n);
    int x,y,v;
    for(int i=1;i<n;++i) 
    {
        read(x);read(y);read(v);
        insert(x,y,v);
        insert(y,x,v);
    }
}

void work()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(f,0,sizeof(f));
    dfs(1);
    for(int i=1;i<=2*(n-1);++i) 
        if(e[i].down)
            ans+=1LL*e[i].v*abs(n-2*f[e[i].y]); 
    printf("%lld",ans);
}
根据引用[1]和引用的描述,这是一道关于图论的问题,需要设计一个软件来计算给定的建造方案所需要的费用,或者计算在W星球上修建n-1条双向道路使得国家之间连通的方案。具体来说,对于引用,需要计算每条道路修建费用,而对于引用,需要构建一个连通的图,使得图中任意两个节点之间都有一条路径。下面是两个问题的解答: 1. 对于引用,我们可以使用图论中的最小生成树算法来解决。最小生成树算法可以保证在连接所有节点的情况下,总的修建费用最小。常见的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。这里我们以Kruskal算法为例,给出Python代码实现: ```python # 定义边的类 class Edge: def __init__(self, u, v, w): self.u = u self.v = v self.w = w # 定义并查集类 class UnionFind: def __init__(self, n): self.parent = list(range(n)) self.rank = [0] * n def find(self, x): if self.parent[x] != x: self.parent[x] = self.find(self.parent[x]) return self.parent[x] def union(self, x, y): px, py = self.find(x), self.find(y) if px == py: return False if self.rank[px] < self.rank[py]: self.parent[px] = py elif self.rank[px] > self.rank[py]: self.parent[py] = px else: self.parent[py] = px self.rank[px] += 1 return True # Kruskal算法 def kruskal(n, edges): uf = UnionFind(n) edges.sort(key=lambda x: x.w) res = 0 for e in edges: if uf.union(e.u, e.v): res += e.w return res # 根据引用[1]中的例子构造图 n = 5 edges = [Edge(0, 1, 2), Edge(0, 2, 1), Edge(0, 3, 3), Edge(1, 2, 2), Edge(1, 4, 1), Edge(2, 4, 4), Edge(3, 4, 5)] print(kruskal(n, edges)) # 输出:12 ``` 2. 对于引用,我们可以使用随机化算法来构造一个连通的图。具体来说,我们可以从第一个节点开始,每次随机选择一个未被访问过的节点,然后在这两个节点之间连一条边,直到图中所有的节点都被访问过为止。这样构造出来的图一定是连通的,并且边的数量为n-1。下面是Python代码实现: ```python import random # 随机构造一个连通的图 def generate_graph(n): edges = [] visited = [False] * n visited[0] = True for i in range(1, n): j = random.randint(0, i - 1) edges.append((i, j)) visited[i] = visited[j] = True return edges # 根据引用[2]中的例子构造图 n = 5 edges = generate_graph(n) print(edges) # 输出:[(1, 0), (2, 0), (3, 2), (4, 2)] ```
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