2018 ICPC EC-final i题Misunderstood Missing 倒序DP

http://codeforces.com/gym/102056/problem/I

题意：有两种值A,D，A代表攻击一次怪兽能对怪兽造成的伤害。D代表每回合开始时A的增量。初始值均为0

给出三种操作，求使用这三种操作在n回合后可以达到的对怪兽伤害的最大值：

1.攻击怪兽，造成A+a[i]伤害。

2.不攻击怪兽，但使D增加b[i]。

3.不攻击怪兽，但使A增加c[i]。

思路：

题目说了回合最多100次，100次要么选1，要么选2，要么选3，而选2和3本质是相同的，只要知道选2或者3之后哪几个回合攻击了，就可以知道选2或者3的收益。但是，“哪几个回合攻击”蕴含的信息量太大，它本身是一个集合，对于一个状态，我们不能存储一个集合，那么就该考虑如何把这个信息转化。

选3的时候，没必要知道具体是哪些回合攻击了，只需要知道选3之后攻击了多少次，就可以得出选3的收益——设选3之后攻击力j次，则收益为c[i]*j

选2的时候就比较麻烦了，看似我们必须知道哪些回合攻击了，才能知道选2的收益有多大。设x为i回合选2之后选择攻击的回合，把收益列出来：

b[i]*((x1-i) + (x2-i) + (x3-i) + ... + (xj - i)) = b[i]*(Σx - i*j)

发现，并不需要记录攻击回合的集合，只需要知道选择攻击的回合之和即可。

因此，dp数组选取三维数组：

dp[i][j][k]:[第i回合][第i回合到第n回合选择攻击的次数][攻击的回合之和] = i到n回合对怪兽造成的伤害

状态转移方程：

dp[i][j+1][k+i] = max(dp[i][j+1][k+i],dp[i+1][j][k] + a[i])//选不选操作1
dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k],dp[i+1][j][k] + max(j*c[i],(k-i*j)*b[i]))//选不选操作2或3

由于最后一次肯定要选1，所以dp[n][1][n] = a[n],然后从n-1开始，dp方向为倒序，直到回合1，在回合1里找最大的ans即可。
前排膜大佬
 

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll dp[2][110][5060];
int main() {
	int t;
	cin>>t;
	while(t--) {
		int n;
		cin>>n;
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		ll a[1010],b[1010],c[1010];
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];
		}
		dp[n%2][1][n]=a[n];// 最后一次必攻击 
		for(int i=n-1;i>=1;i--)// 第i回合
		// 为什么倒叙？ 因为倒叙的话  后面的收益对前面没有影响 
		{
			for(int j=1;j<=n-i;j++)//  代表选择攻击回合的次数 正反无所谓   
			{
				for(int k=(i+i+j-1)*j/2;k<=(n+n-j+1)*j/2;k++)// 根据当前回合的总次数 来枚举 所选回合的总回合数 
				
				//当从i开始选，连续j回合攻击，第n回合攻击的情况是回合之和最小的情况。
				// 开头也有人这样写 从i开始选 选择连续j-i回合攻击 ,第n回合必攻击 把这个当做最小的情况 也可以
				// 表达式是 k=(i+i+j-2)*(j-1)/2
				
                //从n开始，倒着数j次攻击是回合数最大的情况。 
				{
					//为什么是k+i？ 因为你在选这个回合的时候 那么攻击回合就要+i 
					dp[i%2][j+1][k+i]=max(dp[i%2][j+1][k+i],dp[(i+1)%2][j][k]+a[i]);//选不选1 
					dp[i%2][j][k]=max(dp[i%2][j][k],dp[(i+1)%2][j][k]+max(j*c[i],(k-i*j)*b[i]));//选不选2或3 
				}
			}
			memset(dp[(i+1)%2],0,sizeof(dp[(i+1)%2])); // 滚动数组  
		}
		ll ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=(n+n-i+1)*i/2;j++)//这里和之前枚举总回合数相同 
			{
				ans=max(ans,dp[1][i][j]);// 选择 i=1时 的最大值
			}
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}