放苹果

    设f(m,n) 为m个苹果,n个盘子的放法数目,则先对n作讨论,
         当n>m:必定有n-m个盘子永远空着,去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即if(n>m) f(m,n) = f(m,m)  
         当n<=m:不同的放法可以分成两类:
         1、有至少一个盘子空着,拿掉一个盘子,即相当于f(m,n) = f(m,n-1);
         2、所有盘子都有苹果,相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果,不影响不同放法的数目,即f(m,n) = f(m-n,n).
         而总的放苹果的放法数目等于两者的和,即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n)
     递归出口条件说明:
         当n=1时,所有苹果都必须放在一个盘子里,所以返回1;
         当没有苹果可放时,定义为1种放法;
         递归的两条路,第一条n会逐渐减少,终会到达出口n==1;
         第二条m会逐渐减少,因为n>m时,我们会return f(m,m) 所以终会到达出口m==0.


int fun(int m,int n)
{
 if(m==0||n==1)
  return 1;
 if(m<n)
  return fun(m,m);
 else
	 return fun(m,n-1)+fun(m-n,n);
}


### 关于C语言中的“苹果”编程问题 在C语言中,“苹果”的问题是经典的算法练习之一,通常涉及组合数学的概念。这类题目旨在考察程序员对于循环、条件判断以及基本逻辑的理解。 #### 题目描述 给定m个相同的苹果入n个不同的盘子里的方法总数。假设每个盘子可以为空也可以不为空,问总共有多少种置方法?此问题可以通过动态规划或者递归来解决[^1]。 #### 动态规划解法分析 定义`f[i][j]`表示前i个盘子下j个苹果的方式数目,则状态转移方程如下: - 当第i个盘子为空时:`f[i][j]=f[i-1][j];` - 当第i个盘子非空时(即至少有一个苹果):`f[i][j]+=f[i][j-i];` 最终的结果保存在`f[n][m]`里。初始化条件为当只有一个盘子的时候只有一种方式来分配所有的苹果;而没有任何苹果的情况下也仅存在一种情况——所有盘子都为空。 下面是基于上述思路的一个简单实现例子: ```c #include <stdio.h> int f[100][100]; void init(int n, int m){ for(int i = 0 ; i <= n ; ++i) f[i][0] = 1; } int countWays(int n,int m){ if(m<0)return 0; if(f[m][n]!=-1)return f[m][n]; // 如果当前篮子数量大于等于苹果数,则可以直接把所有苹果在一个篮子里 if(n>=m)f[m][n]=(countWays(n,m-1)+countWays(n-m,m)); else f[m][n]=countWays(n,m-1); return f[m][n]; } int main(){ memset(f,-1,sizeof(f)); int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); init(n,m); printf("%d\n",countWays(n,m)); } ``` 这段代码实现了通过记忆化搜索的方式来解决问题,并利用二维数组存储中间结果以减少重复计算的时间复杂度。
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