HDU 1176 免费馅饼(DP)-优快云博客

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本文介绍了一个趣味性的动态规划问题——馅饼接取挑战。主人公gameboy需要在一条限定路径上尽可能多地接住从天而降的馅饼。文章详细解析了解题思路与算法实现，并给出了完整的代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

免费馅饼Time Limit:1000MS Memory Limit:32768KB 64bit IO Format:%I64d & %I64u

Description

都说天上不会掉馅饼，但有一天gameboy正走在回家的小径上，忽然天上掉下大把大把的馅饼。说来gameboy的人品实在是太好了，这馅饼别处都不掉，就掉落在他身旁的10米范围内。馅饼如果掉在了地上当然就不能吃了，所以gameboy马上卸下身上的背包去接。但由于小径两侧都不能站人，所以他只能在小径上接。由于gameboy平时老呆在房间里玩游戏，虽然在游戏中是个身手敏捷的高手，但在现实中运动神经特别迟钝，每秒种只有在移动不超过一米的范围内接住坠落的馅饼。现在给这条小径如图标上坐标：

为了使问题简化，假设在接下来的一段时间里，馅饼都掉落在0-10这11个位置。开始时gameboy站在5这个位置，因此在第一秒，他只能接到4,5,6这三个位置中其中一个位置上的馅饼。问gameboy最多可能接到多少个馅饼？（假设他的背包可以容纳无穷多个馅饼）

Input

输入数据有多组。每组数据的第一行为以正整数n(0<n<100000)，表示有n个馅饼掉在这条小径上。在结下来的n行中，每行有两个整数x,T(0<T<100000),表示在第T秒有一个馅饼掉在x点上。同一秒钟在同一点上可能掉下多个馅饼。n=0时输入结束。

Output

每一组输入数据对应一行输出。输出一个整数m，表示gameboy最多可能接到m个馅饼。
提示：本题的输入数据量比较大，建议用scanf读入，用cin可能会超时。

Sample Input

Sample Output

题意：在0~10这十一个点上某时刻会有a[t][j]块饼掉下，人每秒只能移动一米（比如在5这个位置那么这秒内可以接到

4 5 6这三个位置上某个位置的饼），问你人最多能接到几块饼。

解题思路：比赛时，想了好久没想到状态如何转移，后来看了题解才明白过来。

我们先看下这组数据：第0秒能到达的位置 5

第一秒能到达的位置 4 5 6

第二秒能到达的位置 3 4 5 6 7

第三秒能到达的位置 2 3 4 5 6 7 8

第四秒能到达的位置 1 2 3 4 5 6 7 8 9

第五秒能到达的位置 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

第六秒能到达的位置 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

从上很容易可以发现4秒后人可以到达任何位置，所以我们就可以按时间从后往前面dp，先计算出最后时刻然后一直往前推。

dp[i][j]表示到达第 i 时刻在 j 位置时可以接到最多的饼个数，那么dp[i][j]可以从 i+1 时刻 j 、j+1、j-1位置转移过来于是状态转移方程为： j==0 dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+a[i][j]

j==10 dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-1])+a[i][j]

否则 dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1],dp[i+1][j-1])+a[i][j]

注意端点处理，dp是从后往前的。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[100005][11],a[100005][11];
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n) && n)
    {
        int x,t,f=0;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d %d",&x,&t);
            a[t][x]++;
            if(f<t) f=t;
        }
        for(int i=f;i>=0;i--){
            for(int j=0;j<=10;j++){
                if(i==f) dp[i][j]=a[i][j];
                if(j==0)
                    dp[i][j]=max(dp[i+1][0],dp[i+1][1])+a[i][j];
                else if(j==10)
                    dp[i][j]=max(dp[i+1][10],dp[i+1][9])+a[i][j];
                else
                    dp[i][j]=max(dp[i+1][j],max(dp[i+1][j-1],dp[i+1][j+1]))+a[i][j];
            }
        }
        printf("%d\n",dp[0][5]);
    }
    return 0;
}