25匹马5个跑道问题

问题：一共有25匹马，有一个赛场，赛场有5个赛道，就是说最多同时可以有5匹马一起比赛。假设每匹马都跑的很稳定，不用任何其他工具，只通过马与马之间的比赛，试问最少 得比多少场才能知道跑得最快的5匹马(或者3匹马)。

 

注意： "假设每匹马都跑的很稳定" 的意思是在上一场比赛中A马比B马快，则下一场比赛中A马依然比B马快。

 

稍微想一下，可以采用一种 竞标赛排序(Tournament Sort)的思路。 见《选择排序 》

 

(1) 首先将25匹马分成5组，并分别进行5场比赛之后得到的名次排列如下：

              A组：  [A1  A2  A3   A4  A5]

              B组：  [B1  B2  B3   B4  B5]

              C组：  [C1  C2  C3  C4  C5]

              D组：  [D1  D2  D3  D4  D5]

              E组：  [E1  E2  E3   E4  E5]

      其中，每个小组最快的马为[A1、B1、C1、D1、E1]。

(2) 将[A1、B1、C1、D1、E1]进行第6场，选出第1名的马，不妨设 A1>B1>C1>D1>E1. 此时第1名的马为A1。

(3) 将[A2、B1、C1、D1、E1]进行第7场，此时选择出来的必定是第2名的马，不妨假设为B1。因为这5匹马是除去A1之外每个小组当前最快的马。

(3) 进行第8场，选择[A2、B2、C1、D1、E1]角逐出第3名的马。

(4) 依次类推，第9，10场可以分别决出第4，5名的吗。

 

因此，依照这种竞标赛排序思想，需要10场比赛是一定可以取出前5名的。

 

 

仔细想一下，如果需要减少比赛场次，就一定需要在某一次比赛中同时决出2个名次，而且每一场比赛之后，有一些不可能进入前5名的马可以提前出局。 当然要做到这一点，就必须小心选择每一场比赛的马匹。我们在上面的方法基础上进一步思考这个问题，希望能够得到解决。

 

(1) 首先利用5场比赛角逐出每个小组的排名次序是绝对必要的。

(2) 第6场比赛选出第1名的马也是必不可少的。假如仍然是A1马(A1>B1>C1>D1>E1)。那么此时我们可以得到一个重要的结论：有一些马在前6场比赛之后就决定出局的命运了(下面绿色字体标志出局)。

       A组：  [A1  A2  A3   A4  A5]

       B组：  [B1  B2  B3   B4  B5 ]

       C组：  [C1  C2  C3  C4  C5 ]

       D组：  [D1  D2  D3  D4  D5 ]

       E组：  [E1  E2  E3   E4  E5 ]

(3) 第7场比赛是关键，能否同时决出第2，3名的马呢？我们首先做下分析：

     在上面的方法中，第7场比赛[A2、B1、C1、D1、E1]是为了决定第2名的马。但是在第6场比赛中我们已经得到(B1>C1>D1>E1)，试问？有B1在的比赛，C1、D1、E1还有可能争夺第2名吗？ 当然不可能，也就是说第2名只能在A2、B1中出现。实际上只需要2条跑道就可以决出第2名，剩下C1、D1、E1的3条跑道都只能用来凑热闹的吗？

     能够优化的关键出来了，我们是否能够通过剩下的3个跑道来决出第3名呢？当然可以，我们来进一步分析第3名的情况？

     ● 如果A2>B1(即第2名为A2)，那么根据第6场比赛中的(B1>C1>D1>E1)。 可以断定第3名只能在A3和B1中产生。

     ● 如果B1>A2(即第2名为B1)，那么可以断定的第3名只能在A2, B2,C1 中产生。

     好了，结论也出来了，只要我们把[A2、B1、A3、B2、C1]作为第7场比赛的马，那么这场比赛的第2，3名一定是整个25匹马中的第2，3名。

     我们在这里列举出第7场的2，3名次的所有可能情况：

     ①  第2名=A2，第3名=A3

     ②  第2名=A2，第3名=B1

     ③  第2名=B1，第3名=A2

     ④  第2名=B1，第3名=B2

     ⑤  第2名=B1，第3名=C1

 

(4)  第8场比赛很复杂，我们要根据第7场的所有可能的比赛情况进行分析。

      ①  第2名=A2，第3名=A3。那么此种情况下第4名只能在A4和B1中产生。

           ● 如果第4名=A4，那么第5名只能在A5、B1中产生。

           ● 如果第4名=B1，那么第5名只能在A4、B2、C1中产生。

           不管结果如何，此种情况下，第4、5名都可以在第8场比赛中决出。其中比赛马匹为[A4、A5、B1、B2、C1]

      ②  第2名=A2，第3名=B1。那么此种情况下第4名只能在A3、B2、C1中产生。

           ● 如果第4名=A3，那么第5名只能在A4、B2、C1中产生。

           ● 如果第4名=B2，那么第5名只能在A3、B3、C1中产生。

           ● 如果第4名=C1，那么第5名只能在A3、B2、C2、D1中产生。

           那么，第4、5名需要在马匹[A3、B2、B3、C1、A4、C2、D1]七匹马中产生，则必须比赛两场才行，也就是到第9场角逐出全部的前5名。

      ③  第2名=B1，第3名=A2。那么此种情况下第4名只能在A3、B2、C1中产生。

           情况和②一样，必须角逐第9场

      ④  第2名=B1，第3名=B2。 那么此种情况下第4名只能在A2、B3、C1中产生。

           ● 如果第4名=A2，那么第5名只能在A3、B3、C1中产生。

           ● 如果第4名=B3，那么第5名只能在A2、B4、C1中产生。

           ● 如果第4名=C1，那么第5名只能在A2、B3、C2、D1中产生。

            那么，第4、5名需要在马匹[A2、B3、B4、C1、A3、C2、D1]七匹马中产 生，则必须比赛两场才行，也就是到第9场角逐出全部的前5名。

        ⑤  第2名=B1，第3名=C1。那么此种情况下第4名只能在A2、B2、C2、D1中产生。

            ● 如果第4名=A2，那么第5名只能在A3、B2、C2、D1中产生。

            ● 如果第4名=B2，那么第5名只能在A2、B3、C2、D1中产生。

            ● 如果第4名=C2，那么第5名只能在A2、B2、C3、D1中产生。

            ● 如果第4名=D1，那么第5名只能在A2、B2、C2、D2、E2中产生。

             那么，第4、5名需要在马匹[A2、B2、C2、D1、A3、B3、C3、D2、E1]九匹马中 产 生，因此也必须比赛两场，也就是到第9长决出胜负。

 

总结：

25匹马，5个跑道，用几场决出前5名？

对于前3名，7场可以搞定

对于前5名，最好情况可以在第8场，最差也可以在第9场搞定。

同类问题：

36匹马，6个跑道，用几场比赛决出前3名？

答案：8场。（用第7场的结果可以排除一部分结果，只选取可能是排名结果的马参加比赛）。

转载：http://hxraid.iteye.com/blog/662643