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欧拉函数详解

最新推荐文章于 2022-03-19 00:39:08 发布

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本文详细介绍了欧拉函数的概念及其性质，包括如何计算任意给定正整数n内与之互质的正整数个数，并提供了两种求解欧拉函数值的方法——直接计算法和筛法，有助于理解欧拉函数在数论中的应用。

先明确欧拉函数：计算任意给定的正整数n，在小于等于n的正整数中和n构成互质关系的正整数个数，比如φ(8) = 4,因为1,3,5,7都与8互质

性质1：n=1时，φ(1) = 1；

性质2：如果n是质数，那么φ(n) = n-1，因为质数与小于它的每一个数都构成质数关系

性质3：如果 n = p^k（p为质数，k>=1）,则满足以下公式，比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。当一个数不包含质数p，才可能与n互质，而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、…、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

第二种情况可以看成k=1的特解。

性质4：如果n可以分解成两个互质整数的乘积，n = p1 × p2，则φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)，比如φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24

性质5：由可以得到

推论：对于互质的数p、n，满足p^(φ(n)+1) ≡ p (mod n)

欧拉公式的延伸：小于n 与n互质的数的和是euler(n)*n/2

求某个数字n的欧拉函数值：时间复杂度O（n*n）

int getphi(int n)
{
	int i,ans;
	ans = m = n;
	for(i = 2; i*i <= m; i ++)
	{
		if(n%i == 0)//找到素因子
		{
			ans = ans/i*(i-1);//性质5的应用
			while(n%i == 0)//约去所有素因子
				n/=i;
		}
	}
	if(n > 1)
		ans = ans/n*(n-1);
	return ans;
}

欧拉筛法求1~n的欧拉函数值：时间复杂度O（n）

void euler()
{
	ans = 0;
	memset(book,0,sizeof(book));
	p[1] = 1;
	int i,j;
	for(i = 2; i <= n; i ++)
	{
		if(!book[i])
		{
			prime[ans++] = i;
			p[i] = i-1;//性质2的应用 
		}
		for(j = 0; j < ans&&i*prime[j] < n; j ++)
		{
			book[i*prime[j]] = 1;
			if(i%prime[j] == 0)//如果i和它的最小质数构成互质关系 
			{
				p[i*prime[j]] = p[i]*p[prime[j]];//性质4和性质5的应用 
				break;
			}
			else
				p[i*prime[j]] = p[i]*(p[prime[j]]-1);//性质2和性质4的应用 
		}
	}
	return;
}