POJ 1042

动态规划解法。

题目大意：

有n个湖，对于第i个湖有一个初始的每单位时间的上钩鱼数fi，在那里钓鱼时该上钩率会以di的速率不断下降，不钓的时候上钩率不变。这n个湖是排成一排的，从第一个湖开始每个单位时间可以选择继续在这个湖钓鱼或者往下一个湖走，往第i个湖走需要花费时间ti，这些路是单向的不能往回走。给定h*60/5个单位时间，问最多能钓到多少鱼。（2<=n<=25,1<=h<=16,fi、di>0,0<ti<=192）

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我这里只说说动态规划的解法，因为这道题目还有别的贪心思想的算法。

之前还是在一直练习动态规划，之前的文章（POJ3624）列出了几个动态规划的特征，这次就是遵循这个特征进行思考的。

不过一开始拿到这个题目还是想了一会儿，最优子结构有个很明显的特征：可以用"剪切"法来证明其正确性，那么思考的方法就变成了寻找一种子结构，可以用"剪切"的方法来证明这种子结构的正确性。于是，子结构呼之欲出：记F(n,h)表示在第n号池子，包括n号，剩余h小时的情况下，捞到的鱼的数目的最大值；SFi(s)为在第i个湖停留s个单位时间内在该湖所能掉到的所有鱼。那么问题的递推公式是：

F(n,h)=max{ F(n+1 , h-t[n]-s)+SF(s) ,   s属于[0,h-t[n]] } （这里为了统一一下，t[1]本来是没有的，可以假定为t[1]=0）

同时，由于问题不仅仅需要问能掉到多少鱼，还要求我们算出在每个湖停留的时间，所以我们需要另外一个二维数组S[n,t]来记录在第n号池子，剩余h个单位时间的情况下，捞到的鱼的数目的最大时停留的时间。这样回溯的结构就是：

si=S[i,t-S[i-1]-t[i-1]]，i属于[1,n]

所以，啥都不说了，直接上代码吧。至于贪心算法，等后面学习贪心的时候再去做。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define MAX_N 25
#define MAX_H 192 //16*12
//F(n,h)=max{F(n+1,h-t[n]-s)+SF(s),s=[0,+infinity]} 递推公式
long long int f[MAX_N],d[MAX_N],t[MAX_N];
int fish[MAX_N+1][MAX_H+1],stay[MAX_N+1][MAX_H+1];   //在第n号池子，包括n号，剩余h小时的情况下，捞到的鱼的数目的最大
                                    //第一次WA在这里，MAX_H没有加一
int findMaxSum(int num,int timeLimit){
  int i,h,k,kmax,ans1,nowF,sumF,time,maxTemp;
  for (i=num-1;i>=0;i--){
    for (time=t[i];time<=timeLimit;time++){
      maxTemp=0;
      kmax=0; 
      ans1=fish[i+1][time-t[i]];  //不在第i个池塘停留
      if (ans1>=maxTemp){     //倾向于呆的时间最长
        maxTemp=ans1;  
        kmax=0;
      }
      k=0;
      sumF=0;   
      for (h=time-1-t[i];h>=0;h--){ //从停留1*5min到停完剩余时间
        k++;   //保存的是停留时间
        nowF=f[i]-d[i]*(k-1);    //停留k*5min时，当前5min中内可以钓到的鱼      
        if (nowF>=0){   //还可钓上鱼的时候
          sumF+=nowF;    //停留k*5min中总共钓到的鱼
          ans1=fish[i+1][h]+sumF;
          if (ans1>=maxTemp){   //倾向于呆的时间最长
            maxTemp=ans1;  //这里保存的肯定是最大值
            kmax=k;
          }
        }
        else {  //没有鱼可以钓上来了，再判断一回合，退出
          ans1=fish[i+1][h]+sumF;
          if (ans1>=maxTemp){  //倾向于呆的时间最长
            maxTemp=ans1;
            kmax=k;
          }
        }
      }
      stay[i][time]=kmax;
      fish[i][time]=maxTemp;
    }
  }
  return fish[0][timeLimit];
}

int main(){
  int num,hours,i,allget,stime;
  while(1){
    scanf("%d",&num);
    if (num!=0){
      scanf("%d",&hours);
      
      for (i=0;i<num;i++){
        scanf("%d ",&f[i]);
      }
      for (i=0;i<num;i++){
        scanf("%d ",&d[i]);
      }
      t[0]=0;
      for (i=1;i<num;i++){
        scanf("%d ",&t[i]);
      }
      memset(fish,0,(MAX_N+1)*(MAX_H+1)*sizeof(int));
      memset(stay,0,(MAX_N+1)*(MAX_H+1)*sizeof(int));
      
      allget=findMaxSum(num,hours*12);
      
      hours=hours*12;   //回溯
      stime=stay[0][hours];
      printf("%d",stime*5);
      hours=hours-stime-t[0];
      if (hours<0) hours=0;
      for (i=1;i<num;i++){
        stime=stay[i][hours];
        printf(", %d",stime*5);
        hours=hours-stime-t[i];
        if (hours<0) hours=0;
      }
      
      printf("\nNumber of fish expected: %d\n\n",allget);    
    }
    else {
      break;
    }
  }
}

加油！