模糊如果-那么规则（Fuzzy If-Then Rules）

碰到需要ANFIS算法的一个的例子，第一次接触了模糊如果-那么规则（Fuzzy If-Then Rules）。

1、什么是模糊？

模糊（fuzzy）其实没有定义，只是用来描述那些难以定义、存在不确定性或边界模糊的事物。比如我们聊天的时候经常会说，“温度有点高”，“房间有点亮”，“人有点累”等等；
模糊是与确定相对的，比如说“温度有$35$ 度”， “房间有1000Lux”等。

2、模糊逻辑系统

模糊逻辑系统（Fuzzy Logic System, FLS） 与 传统的二值逻辑系统（Classical Binary Logic System） 相对应。

• 传统二值逻辑系统：结论只有真（True, 1）或假（False, 0）两个选项。比如“温度是高的”只能是完全真或完全假。
• 模糊逻辑系统 ：模糊逻辑允许部分真和部分假的状态，使用隶属度值（从0到1之间的任何值）来表示命题的真值程度。例如，在模糊逻辑中，“温度是高的”可以是0.7（部分高）或0.2（基本不高）。模糊逻辑系统可以用模糊集合和隶属度函数来表示和处理不确定性。

从上面的对比，可能会想到神经网络中的概率论，但两者是不同的。

• 概率论：基于概率来处理随机性和不确定性，表示事件发生的可能性（概率值从0到1）。在概率论中，不确定性来源于事件发生的随机性或未知性。例如，“明天下雨的概率是70%”表示一种关于未来的随机性。

• 模糊逻辑系统：基于模糊集合和隶属度函数来处理模糊性和不确定性，表示某个状态或概念的模糊程度。模糊逻辑关注的是对象在多大程度上符合某种状态或条件，而不是事件发生的概率。例如，假设我们有一个模糊集合A表示“高温”，那么30°C的隶属度可能是0.2（基本不高温），而80°C的隶属度可能是0.9（非常高温）。“今天温度是高的”隶属度为0.7表示温度“部分高”。

也就是说，概率论用于预测某个事件发生的概率，而模糊逻辑系统则是表示在某个条件下事件符合某种状态的程度有多少。

3、隶属度

隶属度（Membership Degree） 是模糊逻辑中的一个关键概念，用于描述一个元素属于某个模糊集合的程度。隶属度的值通常在0到1之间，表示元素与模糊集合的关联程度：0表示元素完全不属于该集合，1表示元素完全属于该集合，介于0和1之间的值表示部分隶属（即部分属于该集合）。

（1）隶属度的定义

在模糊集合理论中，给定一个集合 $A$，其上的元素 𝑥的隶属度用一个函数$ 𝜇_𝐴(𝑥)$来表示，该函数称为 隶属度函数（Membership Function, MF）。

隶属度函数的值范围在
$${\mu }_A:X\to [0,1]$$

(2)隶属度的例子

假设我们有一个模糊集合 “高温”，并且温度的范围是从 0 到 100 摄氏度。我们可以用一个隶属度函数来定义温度值属于“高温”的程度：
a、如果温度为 70°C，隶属度函数 $ 𝜇_{High Temperature}(70)=0.8$ ，这表示 70°C 是“高温”的程度为 0.8（部分高温）。
b、如果温度为 30°C，隶属度函数 $ 𝜇_{High Temperature}(30)=0.1$ ，这表示 30°C 是“高温”的程度为 0.1（基本不高温）。。
c、如果温度为 90°C，隶属度函数 $ 𝜇_{High Temperature}(90)=1$ ，这表示 90°C 是“高温”的程度为 1（完全高温）。
置。

（3）隶属度函数

隶属度函数的形式可以是多种多样的，具体形式的选择取决于应用的需要和专家的知识。以下是几种常见的隶属度函数类型：

a、三角隶属度函数（Triangular Membership Function）：由三个参数 $(a,b,c)$定义，具有以下形式：

$${\mu }_{}$$