C++ 角度扫描（给定半径的圆内可以包含的最大点数）

C++ 角度扫描（给定半径的圆内可以包含的最大点数）【Angular Sweep (Maximum points that can be enclosed in a circle of given radius)】

给定二维平面上的 n 个点，求出最多有多少个点可以被半径为 R 的定半径圆包围。 

注意：即使点位于圆周上，也被认为位于圆内。

例子： 

输入：R = 1 
            points[] = {(6.47634, 7.69628), (5.16828 4.79915), 
                              (6.69533 6.20378)}
输出：2

最大点数为 2

输入：R = 1 
              points[] = {(6.65128, 5.47490), (6.42743, 6.26189) 
                                (6.35864, 4.61611), (6.59020 4.54228), (4.43967 5.70059) 
                                (4.38226, 5.70536), (5.50755 6.18163), (7.41971 6.13668) 
                                (6.71936, 3.04496), (5.61832, 4.23857), (5.99424, 4.29328) 
                                (5.60961, 4.32998), (6.82242, 5.79683), (5.44693, 3.82724) | 
                                (6.70906, 3.65736), (7.89087, 5.68000), (6.23300, 4.59530) 
                                (5.92401, 4.92329), (6.24168, 3.81389), (6.22671, 3.62210)}
输出：11

最大点数为 11

朴素算法：

    对于给定集合中的任意一对点（例如 A 和 B），构造半径为“R”且与这两个点都相切的圆。这样的圆最多有 2 个。正如我们在这里看到的，对于 CASE 1，即 2，最多可能有 2 个圆。

1、对于每个构造的圆，检查集合中的每个点是否位于圆内。

2、返回包含最大点数的圆。

时间复杂度：有n C ^ 2个点对，对应最多可以有2 n C ^ 2 个圆。对于每个圆，需要检查(n-2)个点。这使得朴素算法复杂度为 O(n ^ 3 )。

角度扫描算法：

    通过使用角度扫描 (Angular Sweep)，我们可以在O(n 2 log n) 的复杂度内解决这个问题。该算法的基本逻辑思想如下。

    我们从给定集合中选取任意一个点 P。然后，我们围绕点 P 旋转一个半径为“R”的圆。在整个旋转过程中，P 位于圆的圆周上，我们保持圆中点数的计数为给定值 ?，其中参数 ? 决定了旋转角度。因此，由于半径是固定的，因此圆的状态可以通过单个参数 ? 来确定。 

    我们还可以看到，仅当集合中的点进入或退出圆时，维护的计数值才会改变。

在给定的图中，C1 是 ? = 0 的圆，C2 是将圆旋转至 ? 的某个值时构造的圆。
这样一来，问题就简化为如何维护 count 的值。 
对于除 P 之外的任何给定点（例如 Q），我们可以轻松计算出该点进入圆时 ? 的值（设 ?），以及该点离开圆时 ? 的值（设 ?）。 

我们对角度 A 和 B 的定义如下， 

    A 是 PQ 和 X 轴之间的角度。

    B 是 PC 和 PQ 之间的角度，其中 C 是圆心。

其中，x 和 y 表示点的坐标，“d”是 P 和 Q 之间的距离。
现在，从图中我们可以看到，

？= AB 
？= A + B

（注意：所有角度均相对于 X 轴。因此，它变成“A-B”而不是“B-A”）。

当 Q 进入圆时 

当 Q 退出圆时 

我们可以计算除 P 点之外所有点的 A 角和 B 角。找到这些角后，我们对它们进行排序，然后按升序遍历。现在我们维护一个计数器，它告诉我们在特定时刻圆内有多少个点。 
只有当一个点进入或退出圆时，计数才会改变。如果我们找到一个进入角，我们就将计数器加 1；如果我们找到一个退出角，我们就将计数器减 1。使用标志位可以轻松检查角度是进入角还是退出角。 
如此循环下去，计数器始终会返回一个有效值，用于表示特定状态下圆内点的数量。

重要提示： 'd'>2R 的点不需要考虑，因为它们永远不会进入或退出圆。

角度扫描算法可以描述为：

    1、计算每对n C 2点之间的距离并存储【n C 2如图：】。

    2、对于任意点（比如 P），使用 getPointsInside() 函数获取位于围绕 P 旋转的圆内的点的最大数量。

    3、返回的所有值中的最大值将作为最终答案。

以下是上述方法的实现：

// C++ program to find the maximum number of
// points that can be enclosed by a fixed-radius
// circle
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX_POINTS = 500;

// complex class which is available in STL has
// been used to implement points. This helps to
// ensure greater functionality easily
typedef complex<double> Point;

Point arr[MAX_POINTS];
double dis[MAX_POINTS][MAX_POINTS];

// This function returns the maximum points that
// can lie inside the circle of radius 'r' being
// rotated about point 'i'
bool mycompare(pair<double,bool> A, pair<double,bool> B)
{
    if(A.first<B.first)
        return true;
    else if(A.first>B.first)
        return false;
    else
        return (A.second==1);
}
int getPointsInside(int i, double r, int n)
{
    // This vector stores alpha and beta and flag
    // is marked true for alpha and false for beta
    vector<pair<double, bool> > angles;

    for (int j=0; j<n; j++)
    {
        if (i != j && dis[i][j] <= 2*r)
        {
            // acos returns the arc cosine of the complex
            // used for cosine inverse
            double B =  acos(dis[i][j]/(2*r));

            // arg returns the phase angle of the complex
            double A = arg(arr[j]-arr[i]);
            double alpha = A-B;
            double beta = A+B;
            angles.push_back(make_pair(alpha, true));
            angles.push_back(make_pair(beta, false));
        }
    }

    // angles vector is sorted and traversed
    sort(angles.begin(), angles.end(), mycompare);

    // count maintains the number of points inside
    // the circle at certain value of theta
    // res maintains the maximum of all count
    int count = 1, res = 1;
    vector<pair<double, bool> >::iterator it;
    for (it=angles.begin(); it!=angles.end(); ++it)
    {
        // entry angle
        if ((*it).second)
            count++;

        // exit angle
        else
            count--;

        if (count > res)
            res = count;
    }

    return res;
}

// Returns count of maximum points that can lie
// in a circle of radius r.
int maxPoints(Point arr[], int n, int r)
{
    // dis array stores the distance between every
    // pair of points
    for (int i=0; i<n-1; i++)
        for (int j=i+1; j<n; j++)

            // abs gives the magnitude of the complex
            // number and hence the distance between
            // i and j
            dis[i][j] = dis[j][i] = abs(arr[i]-arr[j]);

    // This loop picks a point p
    int ans = 0;
    for (int i=0; i<n; i++)

        // maximum number of points for point arr[i]
        ans = max(ans, getPointsInside(i, r, n));

    return ans;
}

// Driver code
int main()
{
    Point  arr[] = {Point(6.47634, 7.69628),
                    Point(5.16828, 4.79915),
                    Point(6.69533, 6.20378)};
    int r = 1;

    int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);

    cout << "The maximum number of points are: " 
         << maxPoints(arr, n, r);

    return 0;
}

输出： 

最大点数为：2

时间复杂度：我们调用 getPointsInside() 函数来获取 n 个点。该函数作用于 n-1 个点，得到大小为 2*(n-1) 的向量“角度”（一个入射角和一个出射角）。现在，对这个“角度”向量进行排序和遍历，使得 getPointsInside() 函数的复杂度等于 O(nlogn)。这使得角度扫描算法复杂度为 O(n 2 log n)。

空间复杂度：O(n)，因为使用了辅助空间来存储向量。

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