Python 两点之间的积分点数(Number of Integral Points between Two Points)

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给定两点p (x1, y1) 和q (x2, y2)，计算连接它们线上的积分点的数量。

输入：x1 = 2，y1 = 2，x2 = 5，y2 = 5

输出：2

解释：连接 (2,2) 和 (5,5) 的线上只有 2 个整数点。这两个点是 (3,3) 和 (4,4)。

输入：x1 = 1，y1 = 9，x2 = 8，y2 = 16

输出：6

解释：连接 (1,9) 和 (8,16) 的线上有 6 个整数点。

更多示例：

如果点为 (0, 2) 和 (4, 0)，则位于其上的整数点数只有一个，即 (2, 1)。同样，如果点为 (1, 9) 和 (8, 16)，则位于其上的整数点为 6，它们分别为 (2, 10)、(3, 11)、(4, 12)、(5, 13)、(6, 14) 和 (7, 15)。

简单方法

从给定的任意点开始，使用循环到达另一个端点。对于循环内的每个点，检查它是否位于连接给定两个点的线上。如果是，则将计数增加 1。此方法的时间复杂度为 O(min(x2-x1, y2-y1))。

最佳方法

   1. 如果连接p和q形成的边平行于 Y 轴，则顶点之间的积分点数为：abs(p.y - q.y)-1

   2. 类似地，如果边平行于 X 轴，则两者之间的积分点数为：abs(p.x - q.x)-1

   3. 否则，我们可以使用以下公式找到顶点之间的积分点：GCD(abs(p.x - q.x), abs(p.y - q.y)) - 1

GCD 公式如何工作？

其原理是找到最简形式的直线方程，即在方程 ax + by +c 中，系数 a、b 和 c 互质。我们可以通过计算 a、b 和 c 的 GCD（最大公约数）并将 a、b 和 c 转换为最简形式来实现这一点。
然后，答案将是（y 坐标差）除以 (a) – 1。这是因为在计算 ax + by + c = 0 后，对于不同的 y 值，x 将是可以被 a 整除的 y 值的数量。

以下是上述想法的实现：

# Python3 code to find the number of
# integral points lying on the line
# joining the two given points

# Class to represent an Integral point
# on XY plane.
class Point:

def __init__(self, a, b):
self.x = a
self.y = b

# Utility function to find GCD
# of two numbers GCD of a and b
def gcd(a, b):

if b == 0:
return a
return gcd(b, a % b)

# Finds the no. of Integral points
# between two given points.
def getCount(p, q):

# If line joining p and q is parallel
# to x axis, then count is difference
# of y values
if p.x == q.x:
return abs(p.y - q.y) - 1

# If line joining p and q is parallel
# to y axis, then count is difference
# of x values
if p.y == q.y:
return abs(p.x - q.x) - 1

return gcd(abs(p.x - q.x),
abs(p.y - q.y)) - 1

# Driver Code
if __name__ == "__main__":

p = Point(1, 9)
q = Point(8, 16)

print("The number of integral points",
"between ({}, {}) and ({}, {}) is {}" .
format(p.x, p.y, q.x, q.y, getCount(p, q)))