PHP 为什么二元搜索优于三元搜索

        在计算机科学中，二元搜索（Binary Search）和三元搜索（Ternary Search）是两种查找算法，用于在有序数组或列表中查找目标元素的位置。它们之间的主要区别在于每次查找时如何划分搜索范围的方式。

        1、二元搜索（Binary Search）：二元搜索是一种通过将搜索范围划分为两部分，然后确定目标元素位于左侧或右侧来缩小搜索范围的算法。在每一步中，算法将目标值与数组中间元素进行比较，如果中间元素等于目标值，则找到目标，如果中间元素大于目标值，则在左半部分继续搜索，如果中间元素小于目标值，则在右半部分继续搜索。通过不断划分搜索范围，最终找到目标值或确定目标不存在。

        2、三元搜索（Ternary Search）：三元搜索是一种通过将搜索范围划分为三部分，然后确定目标元素位于左侧、中间还是右侧来缩小搜索范围的算法。在每一步中，算法将目标值与数组中两个划分点的值进行比较，根据比较结果将搜索范围划分为三个部分。然后根据比较结果选择左侧、中间或右侧部分进行下一步搜索。通过这种方式，可以更快地收敛到目标值。

        根据上面的定义，二元搜索是将搜索范围划分为两部分，而三元搜索是将搜索范围划分为三部分。在某些情况下，三元搜索可能更快地找到目标值，但也需要更多的比较操作。

下面是一个简单的 PHP 递归二分查找函数： 

function binarySearchRecursive($arr, $target, $low, $high) {
    if ($high < $low) {
        return -1; // 目标值不在数组中
    }
    
    $mid = floor(($low + $high) / 2);
    
    if ($arr[$mid] == $target) {
        return $mid; // 找到目标值的索引
    } elseif ($arr[$mid] > $target) {
        return binarySearchRecursive($arr, $target, $low, $mid - 1); // 在左半部分继续搜索
    } else {
        return binarySearchRecursive($arr, $target, $mid + 1, $high); // 在右半部分继续搜索
    }
}

// 调用函数进行二分查找
$arr = [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15];
$target = 7;
$index = binarySearchRecursive($arr, $target, 0, count($arr) - 1);

if ($index != -1) {
    echo "目标值{$target}位于数组索引{$index}位置。";
} else {
    echo "目标值{$target}不在数组中。";
}
        上面的代码定义了一个名为binarySearchRecursive的递归二分查找函数，它在给定的有序数组$arr中查找目标值$target。函数接受四个参数：数组$arr、目标值$target、搜索范围的低边界$low和搜索范围的高边界$high。函数通过递归方式不断将搜索区间划分为两半，最终找到目标值的索引或返回-1表示目标值不在数组中。最后，通过调用函数进行二分查找并输出结果。

以下是一个简单的递归三元搜索函数： 

<?php
// A recursive ternary search function. 
// It returns location of x in
// given array arr[l..r] is 
// present, otherwise -1
function ternarySearch($arr, $l, 
                       $r, $x)
{
    if ($r >= $l)
    {
        $mid1 = $l + ($r - $l) / 3;
        $mid2 = $mid1 + ($r - l) / 3;
 
        // If x is present at the mid1
        if ($arr[mid1] == $x) 
            return $mid1;
 
        // If x is present 
        // at the mid2
        if ($arr[$mid2] == $x) 
            return $mid2;
 
        // If x is present in 
        // left one-third
        if ($arr[$mid1] > $x) 
            return ternarySearch($arr, $l, 
                                 $mid1 - 1, $x);
 
        // If x is present in right one-third
        if ($arr[$mid2] < $x) 
            return ternarySearch($arr, $mid2 + 1, 
                                         $r, $x);
 
        // If x is present in
        // middle one-third
        return ternarySearch($arr, $mid1 + 1, 
                             $mid2 - 1, $x);
}
 
// We reach here when element
// is not present in array
return -1;
}
 
// This code is contributed by anuj_67
?> 

上述两者中哪一个在最坏情况下比较较少？ 

        从第一眼看上去，三元搜索似乎进行了较少的比较次数，因为它进行了 Log 3 n 次递归调用，但二分搜索进行了 Log 2 n 次递归调用。让我们仔细看看。 
以下是二分查找最坏情况下计算比较的递归公式。 

   T(n) = T(n/2) + 2, T(1) = 1

以下是三元搜索最坏情况下计算比较的递归公式。

  T(n) = T(n/3) + 4, T(1) = 1

在二分查找中，最坏情况下有 2Log 2 n + 1 次比较。在三元搜索中，最坏情况下有 4Log 3 n + 1 次比较。 

二元搜索的时间复杂度 = 2clog 2 n + O(1)
三元搜索的时间复杂度 = 4clog 3 n + O(1)

        因此，三元搜索和二元搜索的比较归结为表达式 2Log 3 n 和 Log 2 n的比较。 2Log 3 n的值可以写为 (2 / Log 2 3) * Log 2 n 。由于 (2 / Log 2 3)的值大于 1，因此在最坏情况下，三元搜索比二元搜索进行更多的比较。