STFT (短时傅立叶变换)

短时傅立叶变换 (STFT) 详细介绍

1. 基本概念

傅立叶变换（Fourier Transform）用于将一个信号从时间域转换到频率域，然而它假设信号是平稳的，这意味着信号的频率成分在整个时间上是不变的。对于非平稳信号，傅立叶变换无法提供信号随时间变化的频率信息。

短时傅立叶变换通过将信号分割成多个短的、重叠的时间窗口，每个窗口内的信号近似为平稳的，然后对每个窗口分别进行傅立叶变换，从而获得信号在不同时刻的频率信息。

2. 数学表达

• STFT的基本思想是将信号分割成多个小的时间窗口，在每个窗口内假设信号是平稳的，然后对每个窗口内的信号进行傅立叶变换。其数学表达式为：

  $$X(t,f)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )w(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$$

  其中：

  • $x(\tau )$ 是原始信号。
  • $w(t-\tau )$ 是窗口函数。
  • $e^{-j2\pi f\tau }$ 是傅立叶变换的核函数。

STFT 结果

STFT 的计算结果通常是一个复数矩阵，这个矩阵描述了信号在不同时间和频率上的特性。具体来说，STFT 结果的每个元素都是一个复数，表示信号在某个时间段和频率上的振幅和相位。下面是对这些信息的详细解释：

1. 复数矩阵表示

STFT 结果是一个复数矩阵 (Z_{xx}(t, f))，其中 (t) 表示时间，(f) 表示频率。每个元素 (Z_{xx}(t, f)) 是一个复数，包含了信号在时间 (t) 和频率 (f) 上的振幅和相位信息。

2. 幅度 (Magnitude)

复数矩阵中的每个元素的模值表示信号在该时间点和频率上的振幅（或强度）。振幅的计算公式为：

$$|Z_{xx}(t,f)|=\sqrt{\text{Re}(Z_{xx}(t,f){)}^2+\text{Im}(Z_{xx}(t,f){)}^2}$$