任何集合SSS都可以定义内部int(S)int(S)int(S),边界Bd(S)Bd(S)Bd(S)和外部ext(S)ext(S)ext(S)这三个集合。而对于集合T=int(S)T=int(S)T=int(S)来说,它也有它的内部int(T)=int(int(S))int(T)=int(int(S))int(T)=int(int(S)),边界Bd(T)=Bd(int(S))Bd(T)=Bd(int(S))Bd(T)=Bd(int(S))和外部ext(T)=ext(int(S))ext(T)=ext(int(S))ext(T)=ext(int(S))。类似地,SSS的边界也有内部、边界和外部,SSS的外部也有内部、外部和边界。那么这些集合有什么性质呢?这是本文要解决的问题。
在步入正题之前,首先简单介绍集合SSS与补集ScS^cSc的内部,外部与边界的关系。
首先,由边界定义的对称性可以知道
Bd(S)=Bd(Sc)。
Bd(S)=Bd(S^c)。
Bd(S)=Bd(Sc)。
由此,我们立即可以得到
int(S)=ext(Sc)。
int(S)=ext(S^c)。
int(S)=ext(Sc)。
因为设xxx是S的内点,那么x∉Scx\notin S^cx∈/Sc。这样xxx不可能是ScS^cSc的内点。同时,xxx也不可能是ScS^cSc的边界点,否则xxx也是SSS的边界点。综上,xxx只能是ScS^cSc的外点。
类似地,我们有
ext(S)=int(Sc)。
ext(S)=int(S^c)。
ext(S)=int(Sc)。
接下来,进入正题。
内部的内部
首先,我们证明一个基本的引理。
引理1. 对任意的x0∈Rnx_0\in\mathbb{R}^nx0∈Rn和δ>0\delta>0δ>0,都有开球
U(x0,δ)={x∈Rn:∣x−x0∣<δ}
U(x_0,\delta)=\{x\in\mathbb{R}^n: |x-x_0|<\delta\}
U(x0,δ)={x∈Rn:∣x−x0∣<δ}
是开集。
证明. 对于任意的x∈U(x0,δ)x\in U(x_0,\delta)x∈U(x0,δ),记∣x−x0∣=δ′<δ|x-x_0|=\delta' < \delta∣x−x0∣=δ′<δ。那么,令λ=(δ−δ′)/2>0\lambda=(\delta-\delta')/2>0λ=(δ−δ′)/2>0,便有U(x,λ)⊆U(x0,δ)U(x,\lambda)\subseteq U(x_0,\delta)U(x,λ)⊆U(x0,δ)。这说明x∈int(U(x0,δ))x\in int(U(x_0,\delta))x∈int(U(x0,δ))。由xxx的任意性,便有U(x0,δ)⊆∫(U(x0,δ))U(x_0,\delta)\subseteq \int(U(x_0,\delta))U(x0,δ)⊆∫(U(x0,δ))。这说明U(x0,δ)U(x_0,\delta)U(x0,δ)是一个开集。证毕。
命题1. 任意集合SSS的内部都是开集。
证明. 记T=int(S)T=int(S)T=int(S)。那么根据内部的定义,对任意x∈Tx\in Tx∈T都存在开球U(x,δ)U(x,\delta)U(x,δ)满足U(x,δ)⊆SU(x,\delta)\subseteq SU(x,δ)⊆S。接下来,我们证明U(x,δ/2)⊆TU(x,\delta/2)\subseteq TU(x,δ/2)⊆T。事实上,对任意的y∈U(x,δ/2)y\in U(x,\delta/2)y∈U(x,δ/2) 都有U(y,δ/4)⊆U(x,δ)⊆SU(y,\delta/4)\subseteq U(x,\delta)\subseteq SU(y,δ/4)⊆U(x,δ)⊆S。这证明了y∈Ty\in Ty∈T。由yyy的任意性,便有U(x,δ/2)⊆TU(x,\delta/2)\subseteq TU(x,δ/2)⊆T。
于是,我们证明了对任意x∈Tx\in Tx∈T都存在开球U(x,δ/2)U(x,\delta/2)U(x,δ/2)满足U(x,δ/2)⊆TU(x,\delta/2)\subseteq TU(x,δ/2)⊆T,也即x∈int(T)x\in int(T)x∈int(T)。由xxx的任意性,便有T⊆int(T)T\subseteq int(T)T⊆int(T)。这证明了TTT是开集。证毕。
由命题1,我们立即得到
int(int(S))=int(S)。
int(int(S))=int(S)。
int(int(S))=int(S)。
内部的外部
命题2.
ext(S)⊆ext(int(S)).
ext(S)\subseteq ext(int(S)).
ext(S)⊆ext(int(S)).
证明,若x∈ext(S)x\in ext(S)x∈ext(S)那么存在xxx的邻域UUU满足U∩S=∅U\cap S=\emptysetU∩S=∅。因为int(S)⊆Sint(S)\subseteq Sint(S)⊆S,故U∩int(S)=∅U\cap int(S)=\emptysetU∩int(S)=∅。这说明xxx是int(S)int(S)int(S)的外点。证毕。
同时,存在ext(S)≠ext(int(S))ext(S)=\not ext(int(S))ext(S)≠ext(int(S))的情况。例如考虑拓扑空间R\mathbb{R}R。记S=QS=\mathbb{Q}S=Q为有理数集。那么ext(S)ext(S)ext(S)是空集。同时,int(S)int(S)int(S)也是空集,故而ext(int(S))=Rext(int(S))=\mathbb{R}ext(int(S))=R。
内部的边界
命题3.
Bd(int(S))⊆Bd(S).
Bd(int(S))\subseteq Bd(S).
Bd(int(S))⊆Bd(S).
证明。若x∈Bd(int(S))x\in Bd(int(S))x∈Bd(int(S)),我们证明xxx也是SSS的边界点。首先xxx不是SSS的内点,否则Bd(int(S))∩int(S)Bd(int(S))\cap int(S)Bd(int(S))∩int(S)非空,这与int(S)int(S)int(S)是开集的结论矛盾。其次,xxx不是SSS的外点,否则由命题2,xxx也是int(S)int(S)int(S)的外点,矛盾。证毕。
同时,存在Bd(S)≠Bd(int(S))Bd(S)=\not Bd(int(S))Bd(S)≠Bd(int(S))的情况。例如考虑拓扑空间R\mathbb{R}R。记S=QS=\mathbb{Q}S=Q为有理数集。那么Bd(S)Bd(S)Bd(S)是R\mathbb{R}R。同时,int(S)int(S)int(S)也是空集,故而Bd(int(S))=∅Bd(int(S))=\emptysetBd(int(S))=∅。
关于外部的内部,边界和外部可以类似地得到。因为集合的外部和集合的内部有完全相同的性质。
外部的内部
int(ext(S))=ext(S)。 int(ext(S))=ext(S)。 int(ext(S))=ext(S)。
外部的外部
int(S)⊆ext(ext(S)). int(S)\subseteq ext(ext(S)). int(S)⊆ext(ext(S)).
外部的边界
Bd(ext(S))⊆Bd(S). Bd(ext(S))\subseteq Bd(S). Bd(ext(S))⊆Bd(S).
边界的内部,外部和边界没有特别显著的性质,故而不做讨论。