欧拉筛法和积性函数

最新推荐文章于 2025-04-09 22:22:28 发布

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分类专栏：数论文章标签：数论

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本文介绍了欧拉筛法如何保证每个数只被筛一次，达到O(n)的时间复杂度，并解释了其在计算积性函数如莫比乌斯函数和欧拉函数时的作用。通过举例HDU5663题目，阐述了如何利用欧拉筛法解决求解完全平方数gcd的问题，展示积性函数在数论问题中的应用。

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众所周知，求素数可以使用筛法，代码大概是这样子

for(int i=2;i<N;i++){
    if(!isp[i]){
        pri[tot++]=i;
        for(int j=i+i;j<N;j+=i)
            isp[j]=1;
    }
}

这样子的复杂度怎么算呢，可以粗略估计，内层for循环只会在 $i$ 是素数的时候进行,因此，总的计算次数大约是 $\sum k 是素数 N / k$ $\sum_{k是素数}N/k$

可见总计算次数是小于 $O(nlogn)$ 但是大于 $O(n)$ 的，精确的估计是 $O(nloglogn)$ ,需要一些素数分布的知识。下界的估计是因为某些数被筛到了多次（精确的说是这个数素因子的个数）。假如我们使得每个数只被筛一次，那么就能得到一个 $O(n)$ 的算法。

欧拉筛法就是只用每个数的最小素因子去筛这个素数从而保证每个数只被筛到一次。考虑那些有多于一个素因子的数 $X=p*q$ ,其中p是某个素数；为了保证 $q$ 是 $X$ 的最小素因子，我们必须保证 $q$ 不能是某个更小的素数的倍数.

于是，我们得到这样一个算法:枚举 $q$ 和 $p$ ，然后筛掉 $p*q$ ，一旦 $p \mod q =0$ ，就说明之后的枚举中q中都会含有一个较小的素因子，因此break即可，代码是这样子

for(int i=2;i<N;i++){
    if(!isp[i])pri[tot++]=i;
    for(int j=0;j<tot;j++){
        isp[pri[j]*i]=1;
        if(!(i%pri[j]))break;
    }
}

欧拉筛法不仅得到了所有素数，同时得到了每个数的最小素因子,这个副产品有什么用呢，可以用于线性求解积性函数。对于积性函数F，我们只要在求得最小素因子的时候顺便计算即可，以莫比乌斯函数和欧拉函数为例

miu[1]=phi[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++){
    if(!isp[i]){
        pri[tot++]=i;
        miu[i]=-1;
        phi[i]=p-1;
    }
    for(int j=0;j<tot;j++){
        isp[pri[j]*i]=1;
        if(i%pri[j]==0){
            miu[i*pri[j]]=0;
            phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
            break;
        }
        else{
            miu[i*pri[j]]=-miu[i];
            phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
        }
    }
}

积性函数的性质与应用都比较多，以HDU5663为例，题意是让我们求解 $\sum i = 1 n \sum j = 1 m \sum p = 1 [g c d (i, j) = = p 2]$ $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{p=1}[gcd(i,j)==p^2]$ 就是问有多少对数他们的gcd是完全平方数。其中 $n,m<=1000w$ ,并且有5w组询问

假如询问的是有多少对互质，那么我们可以对莫比乌斯求前缀和之后，然后用比较经典的 $sqrt(n)$ 的算法解决这个问题。对于本题，我们仍然可以沿用之前的思路。对每个数求一个系数 $G[i]$ ,然后用 $sqrt(n)$ 的算法计算 $\sum G[k](n/k)(m/k)$ ；

那么考察G函数，根据定义，显然有 $\sum k ∣ n G [k] = [n 是完全平方数]$ $\sum_{k\mid n}G[k]=[n是完全平方数]$ 假如令 $F [n] = [n 是完全平方数]$ $F[n]=[n是完全平方数]$ ，那么就有 $F [n] = \sum k ∣ n G [k]$ $F[n]=\sum_{k\mid n}G[k]$ ,可以看出，G函数只是F函数的反演，根据性质F函数是一个积性函数，因此G函数也是一个积性函数。进一步我们发现G是一个完全积性函数（只需要证n是素数幂次的情况）;因此这题就可以用欧拉筛法完美解决

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int Maxn=10000003;
typedef pair<int,int>pi;
bool isp[Maxn];
int miu[Maxn];
int pri[700020],tot;
LL solve(int n,int m){
    LL ret=0;
    for(int i=1;i<=m;){
        int ni=min(m,min(n/(n/i),m/(m/i)));
        ret+=1LL*(miu[ni]-miu[i-1])*t1*t2;
        i=ni+1;
    }
    return ret;
}
int main(){
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<Maxn;i++){
        if(!isp[i]){
            pri[tot++]=i;
            miu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot&&i*pri[j]<Maxn;j++){
            isp[i*pri[j]]=1;
        miu[i*pri[j]]=miu[i]*miu[pri[j]];
            if(i%pri[j]==0)break;
        }
    }
    for(int i=2;i<Maxn;i++)miu[i]+=miu[i-1];
    int _;scanf("%d",&_);
    while(_--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n<m)swap(n,m);
        LL ans=1LL*n*m-solve(n,m);
        printf("%lld\n",ans);
    }
}