gxx_slide之The Child and Binary Tree

链接：http://codeforces.com/contest/438/problem/E
题意：给出n个不同的权值$c_i(0<c_i<=10^5)$，为不完全二叉树每个节点赋一个值，问子树和为1~m的二叉树有多少种。m,n<=100000
分析：首先，令$F[i]$为所求答案，列出递推式

$$F[t]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{t-c[i]}F[j]*F[t-c[i]-j]$$
右侧很明显是一个卷积，但考虑到n有 $10^5$,我们需要把c[i]转化成生成函数求解，令 $G(x)=\sum_{i=1}^n x^{c[i]}$, $F(x)=\sum_{i=0}^{\infty} F[i]*x^i$,那么有
$$F(x)=G(x)*F(x)^2+1$$ 最后的 $+1$是因为 $F[0]=1是初始条件$
由于 $G(x)$已知，因此这是一个二次方程，解之，得 $$F(x)=\frac2{1\pm\sqrt{1-4G(x)}}$$ 我们选择适当的符号，使得分母可逆即可。注意多项式开根号和求逆的写法，有点容易错。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=998244353,g=3;
typedef long long Int;
const int Maxn=262148;
Int rev2=(M+1)>>1;
Int a[Maxn],b[Maxn],c[Maxn],d[Maxn],G[Maxn],tp1[Maxn],tp2[Maxn],tp3[Maxn];
Int powmod(Int x,Int y,Int mod)
{
    Int ret=1,t=x;
    while(y){if(y&1)ret=ret*t%mod;y>>=1;t=t*t%mod;}
    return ret;
}
void rev(Int *a,int n)
{
    int i,j,k;
    for(i=1,j=n>>1;i<n-1;i++)
    {
        if(i<j)swap(a[i],a[j]);
        for(k=n>>1;j>=k;j-=k,k>>=1);j+=k;
    }
}
void dft(Int *a,int n,int flag=1)
{
    rev(a,n);
    for(int m=2;m<=n;m<<=1)
    {
        Int wm=powmod(g,(M-1)/m,M);
        if(flag<0)wm=powmod(wm,M-2,M);
        for(int k=0;k<n;k+=m)
        {
            Int w=1;
            for(int j=k;j<k+(m>>1);j++,w=w*wm%M)
            {
                Int u=a[j],v=a[j+(m>>1)]*w%M;
                a[j]=(u+v)%M;
                a[j+(m>>1)]=(u-v+M)%M;
            }
        }
    }
}
void mul(Int *a,Int *b,int n)
{
    dft(a,n);dft(b,n);
    for(int i=0;i<n;i++)a[i]=a[i]*b[i]%M;
    dft(a,n,-1);
    int revn=powmod(n,M-2,M);
    for(int i=0;i<n;i++)a[i]=a[i]*revn%M;
}
void polrev(Int *a,Int *b,Int *c,Int *d,int n)//把a变成a的%(x^n)的逆元，要求a[0]!=0
{
    for(int i=0;i<(n<<1);i++)b[i]=c[i]=d[i]=0;
    b[0]=powmod(a[0],M-2,M);
    for(int m=2;m<=n;m<<=1)
    {
        for(int j=0;j<m;j++)c[j]=d[j]=b[j];
        mul(d,c,m);
        for(int j=0;j<m;j++)c[j]=a[j];
        mul(d,c,m<<1);
        for(int j=0;j<m;j++)b[j]=(b[j]*2%M-d[j]+M)%M;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)a[i]=b[i];
}
void polsqrt(Int *a,Int *b,Int *c,Int *d,int n)//把a变成sqrt(a)
{
    for(int i=0;i<(n<<1);i++)b[i]=c[i]=d[i]=0;
    b[0]=1;//b[0]=sqrt(a[0])
    for(int m=2;m<=n;m<<=1)
    {
        for(int j=0;j<m;j++)c[j]=b[j];
        polrev(c,tp1,tp2,tp3,m);
        for(int j=0;j<m;j++)d[j]=a[j];
        mul(d,c,m<<1);
        for(int j=0;j<m;j++)b[j]=((b[j]+d[j])%M)*rev2%M;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)a[i]=b[i];
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int N=1;
    while(N<m+3)N<<=1;
    for(int i=0;i<n;i++){int x;scanf("%d",&x);G[x]=M-4;}G[0]=1;
    polsqrt(G,b,c,d,N);G[0]++;
    polrev(G,b,c,d,N);
    for(int i=1;i<=m;i++)printf("%I64d\n",G[i]*2%M);
}