gxx_slide之城市规划2

题目链接：http://www.tsinsen.com/A1493
分析：就是论文里那道题，之前用cdq分治写过一次，学了论文之后，发现多项式也是可以进行各种神奇的操作的。
对于这道题来说
令$F[i]$为i个点的答案，$G[i]$为i个点任意连边的方案数，那么有

$$G[n]=\sum_{i=1}^nF[i]*G[n-i]*C^{i-1}_{n-1}$$
化简一步得
$$\frac{G[n]}{(n-1)!}=\sum_{i=1}^n\frac{F[i]}{(i-1)!}\frac{G[n-i]}{(n-i)!}$$
右边显然是一个卷积，令 $$P(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{G[i]}{(i-1)!}*x^i$$
$$Q(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{G[i]}{i!}*x^i$$
$$R(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{F[i]}{(i-1)!}*x^i$$
则有 $$P(x)=Q(x)*R(x)$$
而我们要求的就是 $R(x)$的每一项前的系数，而 $P(x)$和 $Q(x)$是已知的，于是我们只要求处 $Q(x)$的逆元 $Q^{-1}x$,然后等式两边乘以 $Q^{-1}(x)$即可。
对 $Q(x)$求逆元就是说找到另一个多项式 $Q^{-1}(x)$，满足
$$Q(x)*Q^{-1}(x)\equiv1\quad mod\quad x^n$$
其中n为 $Q(x)$的阶.可以看出 $Q^{-1}(x)$的阶也是n
求逆元的核心在于
假如已经求出 $Q^{-1}(x)$使得 $Q(x)*Q^{-1}(x)-1\equiv0\quad mod\quad x^n$,左侧是一个前n项都为0的多项式，我们把他平方，那么他前2n项也必然都为0,因此我们有
$$(Q(x)*Q^{-1}(x)-1)^2\equiv0\quad mod\quad x^{2n}$$
化简一下就得到
$$(2Q^{-1}(x)-Q(x)*{Q^{-1}(x)}^2)*P(x)\equiv1\quad mod\quad x^{2n}$$
于是就得到了mod $x^{2n}$的逆元，一直做下去，就可以得到要求的，复杂度为 $T(n)=T(n/2)+O(nlogn)$,因此 $T(n)=O（nlogn)$
用类似的方法还可以求多项式的平方根

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1004535809,g=3;
typedef long long Int;
const int Maxn=262148;
Int rev2=(M+1)>>1;
Int a[Maxn],b[Maxn],c[Maxn],d[Maxn],G[Maxn],tp1[Maxn],tp2[Maxn],tp3[Maxn];
Int fac[Maxn],revf[Maxn],GG[Maxn];
Int powmod(Int x,Int y,Int mod)
{
    Int ret=1,t=x;
    while(y){if(y&1)ret=ret*t%mod;y>>=1;t=t*t%mod;}
    return ret;
}
void rev(Int *a,int n)
{
    int i,j,k;
    for(i=1,j=n>>1;i<n-1;i++)
    {
        if(i<j)swap(a[i],a[j]);
        for(k=n>>1;j>=k;j-=k,k>>=1);j+=k;
    }
}
void dft(Int *a,int n,int flag=1)
{
    rev(a,n);
    for(int m=2;m<=n;m<<=1)
    {
        Int wm=powmod(g,(M-1)/m,M);
        if(flag<0)wm=powmod(wm,M-2,M);
        for(int k=0;k<n;k+=m)
        {
            Int w=1;
            for(int j=k;j<k+(m>>1);j++,w=w*wm%M)
            {
                Int u=a[j],v=a[j+(m>>1)]*w%M;
                a[j]=(u+v)%M;
                a[j+(m>>1)]=(u-v+M)%M;
            }
        }
    }
}
void mul(Int *a,Int *b,int n)
{
    dft(a,n);dft(b,n);
    for(int i=0;i<n;i++)a[i]=a[i]*b[i]%M;
    dft(a,n,-1);
    int revn=powmod(n,M-2,M);
    for(int i=0;i<n;i++)a[i]=a[i]*revn%M;
}
void polrev(Int *a,Int *b,Int *c,Int *d,int n)//把a变成a的%(x^n)的逆元，要求a[0]!=0
{
    for(int i=0;i<(n<<1);i++)b[i]=c[i]=d[i]=0;
    b[0]=powmod(a[0],M-2,M);
    for(int m=2;m<=n;m<<=1)
    {
        for(int j=0;j<m;j++)c[j]=d[j]=b[j];
        mul(d,c,m);
        for(int j=0;j<m;j++)c[j]=a[j];
        mul(d,c,m<<1);
        for(int j=0;j<m;j++)b[j]=(b[j]*2%M-d[j]+M)%M;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)a[i]=b[i];
}
void polsqrt(Int *a,Int *b,Int *c,Int *d,int n)//把a变成sqrt(a)
{
    for(int i=0;i<(n<<1);i++)b[i]=c[i]=d[i]=0;
    b[0]=1;//b[0]=sqrt(a[0])
    for(int m=2;m<=n;m<<=1)
    {
        for(int j=0;j<m;j++)c[j]=b[j];
        polrev(c,tp1,tp2,tp3,m);
        for(int j=0;j<m;j++)d[j]=a[j];
        mul(d,c,m<<1);
        for(int j=0;j<m;j++)b[j]=((b[j]+d[j])%M)*rev2%M;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)a[i]=b[i];
}
int main()
{
    int n=131072;
    revf[0]=revf[1]=fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<n;i++)revf[i]=revf[M%i]*(M-M/i)%M,fac[i]=fac[i-1]*i%M;
    for(int i=2;i<n;i++)revf[i]=revf[i-1]*revf[i]%M;
    for(int i=0;i<n;i++)GG[i]=powmod(2,(Int)i*(i-1)/2%(M-1),M);
    for(int i=0;i<n;i++)a[i]=GG[i]*revf[i]%M;
    for(int i=0;i<n;i++)G[i]=i*a[i]%M;
    polrev(a,b,c,d,n);
    mul(G,a,n<<1);
    for(int i=1;i<n;i++)G[i]=G[i]*fac[i-1]%M;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)printf("%lld\n",G[n]);
}