ACdreamOJ 1154 Lowbit Sum (数位dp)

ACdreamOJ 1154 Lowbit Sum (数位dp)

ACM

题目地址:ACdreamOJ 1154

题意

 
 
  1. long long ans = 0;
  2. for(int i = 1; i <= n; i ++)
  3. ans += lowbit(i)

lowbit(i)的意思是将i转化成二进制数之后,只保留最低位的1及其后面的0,截断前面的内容,然后再转成10进制数。即lowbit(i) = i&(-i)。 
每输入一个n,求ans

分析: 
用二进制去考虑,可以发现这是个数位dp,如果当前第i位为1,说明这个数肯定包含i+1位的全部和,不要忘了第i位也会被求和到。 
额,举个例子:

10->1010, 
第一位是1,所以它肯定包含000~111,也包含1000 
第二位是0,不考虑 
第三位是1,包含0~1,也包含10 
第四位是0,不考虑

所以我们只要算出0~1, 00~11, 000~111...的和就行了 
列出1~15的二进制码,发现,最后一个1在最后一位有一半,在倒数第二位的有1/4,所以根据这个规律打表就行了。

代码

/*
*  Author:      illuz <iilluzen[at]gmail.com>
*  File:        1154.cpp
*  Create Date: 2014-07-31 08:46:56
*  Descripton:  aoj 1154
*/

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define repf(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
typedef long long ll;

const int N = 30;

ll n;
ll dp[N];

// table
void init() {
	repf (i, 1, N - 1) {
		ll ans = 0, t = (1<<i), v = 1;
		while (t) {
			ans += (t>>1) * v;	// there was (t>>1) numbers whose last 1 is in log2(v)
			v <<= 1;
			t >>= 1;
		}
		dp[i] = ans;
//		cout << ans << ' ';
	}
}

ll solve(ll n) {
	int i = 0;
	ll ret = 0;
	while (n) {
		if (n & 1)
			ret += dp[i] + (1<<i);		// don't forget there must be a 1<<i
		n >>= 1;
		i++;
	}
	return ret;
}

// brute force
ll bf(ll n) {
	ll ans = 0;
	repf (i, 1, n)
		ans += i&(-i);
	return ans;
}

int main() {

	init();

	while (cin >> n) {
		cout << solve(n) << endl;
//		cout << n << ' ' << solve(n) << ' ' << bf(n) << endl;
	}
	return 0;
}


在 C++ 中,`lowbit` 并不是一个标准库函数,因此没有专门的头文件提供该功能。然而,可以通过位运算轻松实现 `lowbit` 函数的功能。以下是关于 `lowbit` 的具体说明以及其在 C++ 中的实现方式。 ### 什么是 LowbitLowbit 是一种用于提取整数最低位上设置为 1 的比特位的操作。对于任意正整数 \( n \),可以使用表达式 \( n \& (-n) \) 来计算低阶非零位[^3]。此方法基于补码表示法的工作原理,在计算机科学中非常常见。 #### C++中的实现 由于 C++ 标准库并未直接提供名为 `lowbit` 的函数,所以需要手动定义它。下面是一个简单的例子展示如何创建并调用这样一个自定义函数: ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 自定义 lowbit 函数 inline int lowbit(int x){ return x & (-x); } int main(){ int num; cout << "Enter a positive integer: "; cin >> num; if(num > 0){ cout << "The lowest set bit of " << num << " is: " << lowbit(num) << endl; } else{ cout << "Please enter a valid positive integer." << endl; } return 0; } ``` 上述代码片段展示了如何通过按位与操作符 (\&) 结合负号来获取输入数值中最右边第一个 '1' 所对应的值。注意这里我们不需要额外引入任何特殊的头文件即可完成这一任务。 另外需要注意的是,虽然上面的例子只处理了有符号整型变量的情况,但实际上 unsigned 类型也可以同样适用同样的逻辑来进行类似的低位查找操作。 ### 关于可能使用的其他工具或者技巧 尽管如此,如果希望利用 STL 提供的一些算法辅助我们的开发过程,则可以考虑 `<algorithm>` 和 `<numeric>` 这两个常用的标准模板库头部文件。不过它们主要服务于更复杂的容器管理和数值统计等方面的需求,并不直接影响到基本的 bitwise operation 如 lowbit 的执行效率或准确性[^2]。
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