[筛法]个人对筛法的理解

筛法的引入

首先我们给出一个问题：$求1～N以内的所有质数$
最朴素的算法是一一枚举$1～N以内的数，验证是否为素数$
$一般来说我们验证素数的代价是O(\sqrt{N})（当然你也可以用赌徒算法），这样我们解决这个问题就需要O(N\sqrt{N})的代价$
那么我们能否做的更好呢？
我们需要的就是筛法

朴素的筛法：$Eratosthenes$筛法

由唯一分解定理我们知道，一个合数总是能分解为若干个质数的乘积，因此我们产生这样一个想法：把所有是质数倍数的数都去掉（假如一开始我只知道2是质数），那么剩下的就是质数了。
基于这一想法，我们创造了$Eratosthenes$筛法
代码如下：

memset(check, false, sizeof(check))
int tot = 0;
for (int i = 2; i < N; i++)
    if (! check[i]){
        prime[tot ++] = i;
        for (int j = i * 2; j <= N; j++) check[j] = true;
    }

那么这么做的时间复杂度如何呢？
显然复杂度$T(n) = \sum_{p\leq n} \frac{n}{p} = n \sum_{p \leq n} \frac{1}{p}$
那么问题就在于$n以内的质数的倒数和是多少$
显然这个比调和级数小（即所有数的倒数和），调和级数又比$ln小（由积分可以知道）$，所以这至多是一个$O(nlnn)$的算法
具体更为精细的分析，$Euler$在他的论文里就指出
$\sum_{p \leq n} \frac{1}{p} = lnlnn$
因此$Eratosthenes筛法$的复杂度是$O(nlnlnn)$
注：同样我们可以发现一个数$n不断地开根号取整最多开loglogn次$，我没有发现两者之间的联系，如果有人发现的话请务必告诉我

线性的筛法：$Euler$筛法

$Euler筛法$基于这样一个想法：每个数只被筛去一次，如果我能做到这一点，那么显然这样的筛法就是$O(n)的$
具体做法我们先看代码：

memset(check, false, sizeof(check));
int tot = 0;
for (int i = 2; i <= N; i++){
    if (!check[i]) prime[tot++] = i;
    for (int j = 0; j < tot; j++){
        if (i * prime[j] > N) break;
        check[i * prime[j]] = true;
        if (i % prime[j] == 0) break;
    }
}

$Euler筛每次都把当前的i与素数表prime里的素数p_{j}相乘，我们设i的最小质因子是p'，那么在p_{j}< p'时，p_{j}都是p_{j}*i这个数的最小质因子，我们将它筛去，一旦发现p_{j}=p'，也就是p_{j}|i的时候，就意味着如果p_{j}再变大，p'就将成为p_{j}*i的最小质因子，之后的所有数已经被p'筛过一次了，此时我们就可以跳出循环了$

综上，$Euler筛的复杂度为O(n)$

$Euler$筛法的应用：求积性函数

定义：
$定义在正整数集上的函数f, 对于任意两个互质的整数a, b如果有f(ab) = f(a) *f(b)，那么f是积性函数$
常见积性函数：
欧拉函数$\phi$，莫比乌斯函数$\mu$
线性求解：
求积性函数的关键在于求解$f(p^k)$，其它时候我们可以直接利用积性求解，而具体的$f(p^k)还是要根据f的性质求解$