[Möbius]个人对Möbius反演的理解

Möbius反演的引入

设$f(n)和g(n)是定义再正整数集合上的两个函数，并满足$$f(n)=\sum_{d|n}g(d)$
我们发现
$f(1)=g(1)$
$f(2)=g(1)+g(2)$
$f(3)=g(1)+g(3)$
$f(4)=g(1)+g(2)+g(4)$
$f(5)=g(1)+g(5)$
$f(6)=g(1)+g(2)+g(3)+g(6)$
….
那么我们就有
$g(1)=f(1)$
$g(2)=f(2)-f(1)$
$g(3)=f(3)-f(1)$
$g(4)=f(4)-f(2)$
$g(5)=f(5)-f(1)$
$g(6)=f(6)-f(3)-f(2)+f(1)$
观察这些等式，发现这样一个规律：$g(n)=\sum_{d|n}f(d) * ?$
进一步地我们发现上面的$?$与d无直接关系，而是与$\Large \frac{n}{d}$有关，我们将这个记为$\mu(\Large \frac{n}{d})$
则$g(n)=\sum_{d|n} f(d) * \mu(\frac{n}{d})$
这就是$Möbius$反演，实际上是容斥原理在定义在整数集上的一个偏序关系的拓展。

Möbius反演的定义

$\Large f(n) = \sum_{d|n}g(d) <=> g(n)=\sum_{d|n} f(d) * \mu(\frac{n}{d})$

$\mu(d)为Möbius函数，定义如下$
$(1)若d=1，则\mu(d)=1$
$(2)若d=p_{1}*p{2}*...*p_{k}，则\mu(d) = (-1)^k$
$(3)其余情况\mu(d)=0$

Möbius反演的性质

性质一
对于任意正整数$n,有\sum_{d|n} = [n == 1]$
证明：利用二项式定理即可

性质二
$\mu(n)是积性函数$
证明：利用定义即可

性质三
$f(n)是积性函数与g(n)是积性函数等价$
证明：略

Möbius反演的证明

证明：
$g(n)$
$=\sum_{d|n}f(\frac{n}{d})*\mu(d)$
$=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|\frac{n}{d}}g(i)$ 这时我们交换求和顺序
$=\sum_{i|n}g(i)\sum_{d|\frac{n}{i}}\mu(d)$
根据性质一，
$i=n时\sum_{d|\frac{n}{i}}\mu(d)=1$
其他情况时$\sum_{d|\frac{n}{i}}\mu(d)=0$
综上，得证

Möbius反演的变形

形式一：$f(n) = \sum_{d|n}g(d) <=> g(n)=\sum_{d|n} f(d) * \mu(\frac{n}{d})$
形式二：$f(i)=\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} g(d * i) <=> g(i)=\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} f(d * i)\mu(d)$
形式二证明同形式一，略

Möbius反演的应用

方法一：构造函数法

应用一：$g(n)很难直接求，但\sum_{d|n}g(d)$很容易求
应用二：$g(i)很难直接求，但\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} g(d * i) 很容易求$

方法二：运用公式法

公式一：$\sum_{d|n}\mu(d) = [n==1]$
公式二：$\sum_{d|n}\phi(d) = n$
这里有一些常见问题的运用示范
http://blog.youkuaiyun.com/Lcomyn/article/details/47281717

四大要点
$(1)公式推导：利用莫比乌斯反演推导出基本式子$
要点：多往$gcd上靠,lcm可以转化称gcd，新函数可以研究与gcd的关系$
$(2)等价变换：变量替换，内层外移等技巧$
要点：常见的有对$gcd(i,j)=d$的替换，还有对$pd = T$的替换，转换求和的思维方式，改变求和顺序
$(3)线性筛法：预处理各种信息$
要点：一般来说是一个奇怪的积性函数，利用筛法即可
$(4)分块处理：归结到最后通过分块在根号时间内实现$