关于广义莫比乌斯反演的思考

最新推荐文章于 2022-05-03 02:59:51 发布

baihacker

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分类专栏：算法文章标签：莫比乌斯反演容斥原理 Dirichlet 卷积

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/baihacker/article/details/79597472

本文探讨了莫比乌斯反演的基本思想，通过将困难函数转换为简单函数的计算来简化问题。文章指出，当简单函数f和困难函数g满足特定关系时，可以利用反演来解决复杂计算。文中以子集卷积为例，说明如何在无法直接快速计算困难函数g的情况下，通过反向应用简单函数f的快速算法来求解g。该方法在实际问题中，如spoj的PAIRDIV2问题中有应用。

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本文总结关于广义莫比乌斯反演的一些思想。

1. 广义莫比乌斯反演
为区别平时所说的整数上定义整除关系后，在dirichlet卷积下的莫比乌斯反演，这里更关心其一般化，所以称之为广义莫比乌斯反演。

在Richard A. Brualdi所著的Introductory Combinatorics (版本不限，中文名为组合数学）中The Inclusion-Exclusion Principle and Applications(容斥原理及其应用)一章，最后一节Mobius Inversion(莫比乌斯反演)所介绍的莫比乌斯反演即为本文所提到的广义莫比乌斯反演。

简单地，不严格地说：如果有 f = s * g, s * t = 1，那么有g = t * f。当x是整数上集上带整除关系的偏集上的示性函数：a | b 时 s(a, b) = 1，否则为0，x这个函数通常记为zeta。相应的，由该偏序关系决定的卷积正是Dirichlet卷积。s关于delta(在本文中写作1，请自行区分整数1和delta)的逆就是莫比乌斯函数t，通常记为mu。

问题：通常遇到的mu是一个参数，而上述的s是两个参数，进一步可以猜测t也是两个参数。是的，上述函数都是两个参数，其中卷积的定义如下:f(x, y) = s * g = sum(s(x, z)g(z, y),x <= z and z <= y).令x = 1，<= 关系为整除关系时f(y) = sum(s(1, z)g(z, y), x | z and z | y)。进一步，令ss = s(z/1)，gg=g(y/z)得到f(y) = sum(ss(z)gg(y/z), x | z and z | y)。可以证明，mu(a, b) = mu(b/a)，正好和前面的解释对应。进而解释了为什么在整数，整除关系上莫比乌斯函数只有一个参数。而，在2^X上，集合包含关系下的莫比乌斯函数是(-1)^(|A|-|B|)，可以看到确实有两个参数。当B为空集时，就得到了容斥原理的系数了。书中有详细推导。

到这里，我们将一般莫比乌斯反演提高到广义莫比乌斯反演。广义莫比乌斯反演包含了容斥原理。

前文所述的："如果有 f = s *