47、马尔可夫决策过程的抽象解释与概率可达性分析

马尔可夫决策过程的抽象解释与概率可达性分析

1 背景知识

1.1 抽象解释基础概念

• 偏序集与格 ：若集合 $A$ 上存在一个自反、反对称且传递的关系 $\leq$，则 $(A, \leq)$ 构成一个偏序集（poset）。对于偏序集 $(L, \leq)$，若其每个子集 $M \subseteq L$ 都有关于 $\leq$ 的最大下界 $\bigwedge M$ 和最小上界 $\bigvee M$，则 $(L, \leq)$ 是一个（完备）格。
• 伽罗瓦连接与最佳变换器 ：在抽象解释中，具体语义定义在具体域 $(L, \leq)$ 上，抽象语义定义在抽象域 $(M, \leq)$ 上。抽象函数 $\alpha : L \to M$ 和具体化函数 $\gamma : M \to L$ 若满足对于所有 $l \in L$ 和 $m \in M$，有 $\alpha(l) \leq m \Leftrightarrow l \leq \gamma(m)$，则称 $(\alpha, \gamma)$ 是一个伽罗瓦连接，记为 $(L, \leq) \xrightarrow[\gamma]{\alpha} (M, \leq)$。对于具体变换器 $f : L \to L$，抽象变换器 $g^{\sharp} : M \to M$ 若满足 $(f \circ \gamma) \leq (\gamma \circ g^{\sharp})$，则称 $g^{\sharp}$ 是 $f$ 的有效抽象。最佳变换器 $f^{\sharp} = \alpha \circ f \circ \gamma$ 是 $f$