47、最佳概率变换器：抽象解释与马尔可夫决策过程

最佳概率变换器：抽象解释与马尔可夫决策过程

1. 背景知识

1.1 抽象解释基础概念

抽象解释是一种用于程序静态分析的理论框架，它涉及到一些基础概念，如格（lattices）、伽罗瓦连接（Galois connections）和最佳变换器（best transformers）。

• 偏序集（poset） ：如果 (A) 是一个集合，且 (\leq\subseteq A\times A) 是一个自反、反对称和传递的关系，那么 ((A, \leq)) 就是一个偏序集。对于两个函数 (f, g : A \to B)，如果对于所有的 (a \in A) 都有 (f(a) \leq g(a))，则记为 (f \leq g)。两个函数 (f_1 : A \to B) 和 (f_2 : B \to C) 的复合函数记为 ((f_2 \circ f_1) : A \to C)，其中 ((f_2 \circ f_1)(a) = f_2(f_1(a))) 对于所有的 (a \in A) 都成立。
• 单调函数 ：函数 (f : A \to B) 是单调的，如果对于所有的 (a, a’ \in A)，当 (a \leq a’) 时，有 (f(a) \leq f(a’))。
• （完全）格 ：一个偏序集 ((L, \leq)) 是一个（完全）格，如果对于 (L) 的每个子集 (M \subseteq L)，都存在关于 (\leq) 的最大下界 (\bigwedge M) 和最小上界 (\bigvee M)。对于格 ((L, \leq))