38、数组排列分析：方法与实验结果

数组排列分析：方法与实验结果

1. 基于流的上界解决方案

在处理索引和原子方程系统时，相应的格提供了最小上界运算符。但对于多重集方程，需要重新定义统一两个多重集方程的方法，每个方程都与一个原子方程系统一起考虑。

例如，已知 $(v = A[i] = A[j])$ 时，要统一多重集方程 $\hat{A} \ominus M = \varnothing$ 与已知 $(A[i] = A[j])$ 时的方程 $\hat{A} \ominus M = A[j] \ominus v$。

正式地，给定两个多重集表达式 $E_1$ 和 $E_2$ 以及两个等价关系 $\equiv_1$ 和 $\equiv_2$，目标是将每个 $E_i$ 重写为一个共同的多重集表达式 $E$，使得 $E_i \equiv_i E$，$i = 1, 2$。可以通过向 $E_i$ 添加一个项 $a \ominus b$（其中 $a \equiv_i b$）来实现重写。

1.1 原子重写

当一个原子 $a$ 仅出现在 $E_1$ 中时，可以通过向 $E_2$ 添加 $a \ominus b$（对于某个满足 $a \equiv_2 b$ 的 $b$）将其引入 $E_2$。这个过程可以看作是在图中旅行：将 $\equiv_1$ 和 $\equiv_2$ 的等价类视为顶点，如果 $x \in V \cap V’$，则用标记为 $x$ 的边连接两个顶点 $V$ 和 $V’$。得到的图是二分图。

例如，要统一 $E_1 = a$ 与 $E_2 = e$，已知 $(b \equiv_1 c \equiv_1 d)$ 和 $(a \equiv_2 b, d \equiv