Classical Algorithm-FFT

FFT

多项式的系数表示和点表示

系数表示

$f=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$
f={a0,a1,…,an}f=\{a_0,a_1,\dots ,a_{n}\}f={a0​,a1​,…,an​}

点表示

在平面上选$(n+1)$个点
$(x_i,y_i)$,$y_i=a_0+a_1{x}_i+a_2{x}_i^2+\cdots +a_{n-1}{x}_i^{n-1}$,也可以表示多项式。

多项式乘积

在系数表示下是$O(n^2)$，在点表示是$O(n)$，
$$(x_i,f(x_i))\times (x_i,g(x_i))=(x_i,f(x_i)\times g(x_i))$$

复变基础

$$\begin{gathered} i^2=1 \\ a+bi对应复平面上的一个点(a,b) \\ a+bi=l(\cos \theta +i\sin \theta )=l{e}^{i\theta } \end{gathered}$$
$$e^{i{\theta }_1}\cdot e^{i{\theta }_2}=e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$$

Conjugate

$$\begin{gathered} x=a+bi \\ {x}^{†}=a-bi \\ x\cdot x^{†}=(a^2+b^2)=l^2 \end{gathered}$$

单位根

$${\omega }_n^n=1\to w_n=e^{i\frac{2\pi }{n}}$$
$${\omega }_{2n}^{2k}={\omega }_n^k,{\omega }_n^{k+\frac{n}{2}}=-{\omega }_n^k,{\omega }_n^{a+b}={\omega }_n^a{\omega }_n^b$$
代入{ωn0,ωn1,…,ωnn−1}\{\omega_n^0,\omega_n^1,\dots,\omega_n^{n-1}\}{ωn0​,ωn1​,…,ωnn−1​}
多项式，$n=2^k$
$$\begin{gathered} f(x)=\sum a_i{x}^i=A_1(x^2)+x{A}_2(x^2) \\ {A}_1(x)=a_0+a_{2}x+\cdots +a_{n-2}{x}^{\frac{n}{2}-1} \\ {A}_2(x)=a_1+a_{3}x+\cdots +a_{n-1}{x}^{\frac{n}{2}-1} \end{gathered}$$
对于k<$\frac{n}{2}$:
$$\begin{gathered} f({\omega }_n^k)=A_1({\omega }_n^{2k})+{\omega }_n^k{A}_2({\omega }_n^{2k}) \\ f({\omega }_n^{k+\frac{n}{2}})=A_1({\omega }_n^{2k})-{\omega }_n^k{A}_2({\omega }_n^{2k}) \end{gathered}$$

IDFT

把$y_i$当成系数，把{ωn0,ωn−1,…,ωn−(n−1)}\{\omega_n^0,\omega_n^{-1},\dots,\omega_n^{-(n-1)}\}{ωn0​,ωn−1​,…,ωn−(n−1)​}带入再乘上$\frac{1}{n}$，得到系数。
$$\begin{gathered} y_i=\sum {\omega }_n^i\ast a_i \\ {a}_i=\frac{1}{n}\sum {\omega }_n^{-i}\ast y_i \end{gathered}$$