洛谷4721 【模板】分治 FFT

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FFT

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本文介绍了一种使用分治NTT（快速傅里叶变换）处理多项式卷积的方法，通过cdq分治思想，在递归过程中计算[l,mid]区间对[mid+1,r]区间的贡献，实现高效多项式乘法运算。代码示例展示了如何初始化、执行NTT变换及逆变换，并应用到具体问题中。

传送门

久违的多项式全家桶= =+

分治NTT 用的就是cdq分治的思想对于当前递归到的区间[l,r] 我们处理出[l,mid]对[mid+1,r]答案的贡献

然后分治递归求解就可以啦qwq

这个贡献是前一半卷积的答案加过去就可以啦

对于x的贡献 $w_x = \sum_{i=l}^{mid} f_i*g_{x-i}$

附代码。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
#define mdn 998244353
#define G 3
#define mxn 200010
using namespace std;

int ksm(int bs,int mi)
{
	int ans=1;
	while(mi)
	{
		if(mi&1)	ans=(ll)ans*bs%mdn;
		bs=(ll)bs*bs%mdn; mi>>=1;
	}
	return ans;
}
int rev[mxn],inv;
int init(int n)
{
	int lim=1,l=0;
	while(lim<n)	lim<<=1,l++;
	for(int i=1;i<lim;i++)
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	inv=ksm(lim,mdn-2);
	return lim;
}

void NTT(int *a,int n,int f)
{
	for(int i=0;i<n;i++)	if(rev[i]>i)	swap(a[rev[i]],a[i]);
	for(int k=2;k<=n;k<<=1)
	{
		int Wn=ksm(G,(mdn-1)/k),mid=k>>1;
		if(f)	Wn=ksm(Wn,mdn-2);
		for(int w=1,i=0;i<n;i+=k,w=1)
		for(int j=0;j<mid;j++,w=(ll)w*Wn%mdn)
		{
			int x=a[i+j],y=(ll)w*a[i+mid+j]%mdn;
			a[i+j]=(x+y)%mdn;
			a[i+mid+j]=(x-y+mdn)%mdn;
		}
	}
	if(f)	for(int i=0;i<n;i++)	a[i]=(ll)a[i]*inv%mdn;
}

int f[mxn],g[mxn],h[mxn],a[mxn],b[mxn];
void cdq(int l,int r)
{
	if(l==r)	return;
	int mid=(l+r)>>1;
	cdq(l,mid); int lim = init(r-l+1);
	for(int i=0;i<=mid-l;i++)	a[i]=f[l+i];
	for(int i=mid-l+1;i<=lim;i++)	a[i]=0;
	for(int i=0;i<=r-l;i++)	b[i]=g[i];
	for(int i=r-l+1;i<=lim;i++)	b[i]=0;
	NTT(a,lim,0); NTT(b,lim,0);
	for(int i=0;i<lim;i++)	a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mdn;
	NTT(a,lim,1);
	//for(int i=0;i<lim;i++)	printf("%d ",a[i]);
	for(int i=mid+1;i<=r;i++)	f[i]=(ll)(f[i]+a[i-l])%mdn;
	cdq(mid+1,r);
}
int n;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++)	scanf("%d",&g[i]);
	f[0]=1;
	cdq(0,n);
	for(int i=0;i<n;i++)	printf("%d ",f[i]);
	return 0;
}