<think>
我们正在讨论C++中的priority_queue（优先队列）。根据引用内容，priority_queue是一种容器适配器，它提供了一种按优先级而不是插入顺序获取元素的机制。它的底层实现通常是二叉堆，默认使用vector作为底层容器，并且默认是最大堆（通过std::less<T>实现，但实际上最大堆是根节点最大的堆）。
我将按照以下结构详细讲解：
1. 定义与特性
2. 底层实现与原理（二叉堆）
3. 常用操作（push, pop, top, empty, size）
4. 自定义比较函数（如何实现最小堆或其他排序）
5. 底层容器的选择及注意事项
6. 应用场景
7. 性能分析
8. 线程安全问题
9. 自实现priority_queue（二叉堆）的简单示例
注意：由于用户要求详细全面，我们将尽可能覆盖以上方面。
1. 定义与特性
优先级队列（priority_queue）是一种容器适配器，它允许用户以优先级顺序检索元素。每次从队列中取出的元素都是当前优先级最高的元素。它不支持随机访问，也不提供迭代器。
特性：
- 默认情况下，元素按从大到小排序（最大堆），即队首元素（top）是最大值。
- 底层通常由堆（heap）数据结构实现，堆是一棵完全二叉树，可以用数组（vector）来存储。
- 插入和删除元素的时间复杂度为$O(\log n)$，访问队首元素的时间复杂度为$O(1)$。
- 它是一个容器适配器，封装了底层的容器（默认是vector），并提供了堆操作。
2. 底层实现与原理：二叉堆
二叉堆是一种完全二叉树，可以分为最大堆和最小堆：
- 最大堆：每个节点的值都大于或等于其子节点的值。根节点是最大值。
- 最小堆：每个节点的值都小于或等于其子节点的值。根节点是最小值。
二叉堆通常使用数组（或vector）来表示。对于给定位置$i$的节点：
- 其父节点位置：$\lfloor (i-1)/2 \rfloor$
- 左子节点位置：$2i+1$
- 右子节点位置：$2i+2$
堆的操作：
- 向上调整（sift up / percolate up）：当在堆尾插入新元素时，需要向上调整以保持堆的性质。
- 向下调整（sift down / percolate down）：当删除堆顶元素（或替换堆顶元素）时，需要将堆尾元素移到堆顶，然后向下调整以保持堆的性质。
3. 常用操作
在C++中，priority_queue包含在<queue>头文件中。常用操作有：
- push(element): 插入一个元素，并调整堆（向上调整），时间复杂度$O(\log n)$。
- pop(): 移除队首元素（即堆顶），并调整堆（向下调整），时间复杂度$O(\log n)$。
- top(): 返回队首元素（堆顶元素），不删除，时间复杂度$O(1)$。
- empty(): 判断队列是否为空，时间复杂度$O(1)$。
- size(): 返回队列中元素个数，时间复杂度$O(1)$。
4. 自定义比较函数
默认情况下，priority_queue是最大堆（队首最大）。我们可以通过自定义比较函数来改变优先级顺序。
例如，实现最小堆（队首最小）：
```cpp
// 最小堆
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> min_heap;
```
自定义比较函数（例如，自定义结构体）：
```cpp
struct Node {
int value;
// 其他字段...
};
struct Compare {
bool operator()(const Node& a, const Node& b) {
// 返回true表示a的优先级低于b（即a排在b的后面）
return a.value < b.value; // 这样是最大堆（按照value从大到小）
// 如果 return a.value > b.value; 则是最小堆
}
};
priority_queue<Node, vector<Node>, Compare> custom_pq;
```
5. 底层容器的选择及注意事项
priority_queue的模板声明如下：
```cpp
template <class T, class Container = vector<T>, class Compare = less<typename Container::value_type> >
class priority_queue;
```
底层容器必须满足序列容器的要求，且提供随机访问迭代器（如vector或deque）。注意：
- 默认容器是vector。
- 也可以使用deque，但vector通常性能更好（因为连续内存）。
- 不能使用list（因为不支持随机访问，堆调整需要随机访问）。
6. 应用场景
- 任务调度：操作系统中的优先级调度算法。
- 图算法：如Dijkstra最短路径算法、Prim最小生成树算法中，用于高效获取下一个待处理的节点。
- 数据流处理：处理不断到来的数据，只关心当前最大/最小的几个元素（如Top K问题）。
- 合并多个有序序列（堆排序）。
7. 性能分析
- 建堆：从一个无序序列建堆，可以使用自底向上的方法，时间复杂度$O(n)$（通过弗洛伊德算法）。
- 插入和删除：每次调整堆的时间复杂度为$O(\log n)$。
- 访问队首元素：$O(1)$。
- 注意：std::priority_queue不支持查找和修改任意元素的操作，如果确实需要，可能需要考虑其他数据结构（如斐波那契堆等，但C++标准库未提供）。
8. 线程安全问题
- std::priority_queue本身不是线程安全的。如果多个线程同时访问同一个priority_queue对象，并且至少有一个线程修改它，那么需要外部同步机制（如互斥锁）。
9. 自实现priority_queue（二叉堆）的简单示例
下面是一个简化的自实现最大堆（基于vector）：
```cpp
template <typename T, typename Compare = std::less<T>>
class priority_queue {
private:
std::vector<T> data;
Compare comp;
// 向上调整
void sift_up(int index) {
while (index > 0) {
int parent = (index - 1) / 2;
if (comp(data[parent], data[index])) { // 如果父节点小于当前节点（对于最大堆，需要交换）
std::swap(data[parent], data[index]);
index = parent;
} else {
break;
}
}
}
// 向下调整
void sift_down(int index) {
int n = data.size();
while (index < n) {
int left = 2 * index + 1;
int right = 2 * index + 2;
int largest = index;
if (left < n && comp(data[largest], data[left]))
largest = left;
if (right < n && comp(data[largest], data[right]))
largest = right;
if (largest != index) {
std::swap(data[index], data[largest]);
index = largest;
} else {
break;
}
}
}
public:
priority_queue() = default;
void push(const T& value) {
data.push_back(value);
sift_up(data.size() - 1);
}
void pop() {
if (data.empty()) return;
std::swap(data[0], data.back());
data.pop_back();
sift_down(0);
}
const T& top() const {
return data.front();
}
bool empty() const {
return data.empty();
}
size_t size() const {
return data.size();
}
};
```
注意：上述自实现代码是简化版，实际标准库的实现可能更复杂（比如异常安全等）。
总结：priority_queue是一种高效的优先级队列，适用于需要按优先级处理元素的场景。通过自定义比较函数和底层容器，可以适应不同的需求。但在使用时需要注意其局限性（如不支持随机访问、非线程安全等）[^1][^2][^3][^4]。
如果您有任何具体问题，可以进一步提问。
§§相关问题§§
1. priority_queue在Dijkstra算法中是如何应用的？
2. 如何使用priority_queue解决Top K问题？
3. priority_queue与set/multiset在功能上有何异同？
4. 如何实现一个线程安全的priority_queue？
5. 为什么priority_queue默认使用vector作为底层容器？
</think>
### Priority Queue（优先队列）的全面讲解
#### 1. **基本定义与特性**
- **核心概念**
Priority Queue（优先队列）是一种抽象数据类型，元素按**优先级顺序**而非插入顺序出队。每次出队的元素是当前队列中优先级最高（或最低）的元素[^1][^4]。
- **关键特性**：
- 默认实现为**最大堆**（根节点为最大值），可通过自定义比较器调整为最小堆[^2]
- 不支持随机访问和迭代器操作[^2][^3]
- 时间复杂度：
- 插入（push）：$O(\log n)$
- 删除队首（pop）：$O(\log n)$
- 访问队首（top）：$O(1)$
#### 2. **底层实现原理**
- **数据结构**：
基于**二叉堆**（完全二叉树），通常用数组（如`std::vector`）存储[^3][^4]：
```plaintext
16
/ \
14 10
/ \ /
8 7 9
// 数组存储：[16, 14, 10, 8, 7, 9]
```
- **核心操作**：
- **向上调整（Sift Up）**：插入元素时，从底部向上调整堆结构
- **向下调整（Sift Down）**：删除根节点时，将末尾元素移至根部并向下调整[^3]
- **数学关系**（对于节点$i$）：
- 父节点索引：$\lfloor (i-1)/2 \rfloor$
- 左子节点索引：$2i+1$
- 右子节点索引：$2i+2$
#### 3. **C++标准库实现（std::priority_queue）**
```cpp
#include <queue>
#include <vector>
#include <functional>
// 默认最大堆
std::priority_queue<int> max_heap;
// 最小堆定义
std::priority_queue<int, std::vector<int>, std::greater<int>> min_heap;
// 自定义比较器
struct Node { int value; };
auto cmp = [](const Node& a, const Node& b) {
return a.value < b.value; // 最大堆规则
};
std::priority_queue<Node, std::vector<Node>, decltype(cmp)> custom_pq(cmp);
```
#### 4. **核心操作详解**
| **操作** | **说明** | **时间复杂度** |
|----------------|-----------------------------------|---------------|
| `push(val)` | 插入元素并调整堆 | $O(\log n)$ |
| `pop()` | 删除队首元素 | $O(\log n)$ |
| `top()` | 访问队首元素（不删除） | $O(1)$ |
| `empty()` | 判断队列是否为空 | $O(1)$ |
| `size()` | 返回元素数量 | $O(1)$ |
#### 5. **应用场景**
1. **任务调度**
操作系统按优先级处理任务（如实时系统）[^1]
2. **图算法**
- Dijkstra最短路径算法
- Prim最小生成树算法
3. **数据流处理**
- Top K问题：维护大小为K的最小堆找最大K元素
```cpp
// 找数组中最大的K个元素
std::priority_queue<int, std::vector<int>, std::greater<int>> pq;
for (int num : nums) {
pq.push(num);
if (pq.size() > k) pq.pop();
}
```
4. **离散事件模拟**
按时间戳优先级处理事件
#### 6. **性能与注意事项**
- **容器选择**：
默认`std::vector`（连续内存高效），也可用`std::deque`，但禁用`std::list`（不支持随机访问）[^2][^4]
- **线程安全**：
标准库实现**非线程安全**，多线程需外部同步[^2]
- **建堆优化**：
批量建堆时间复杂度$O(n)$（弗洛伊德算法），优于单次插入$O(n\log n)$
```cpp
std::vector<int> vec{3,1,4,2,5};
std::priority_queue<int> pq(vec.begin(), vec.end()); // O(n)建堆
```
#### 7. **与其他数据结构对比**
| **数据结构** | **优势** | **劣势** |
|--------------------|-----------------------------------|------------------------|
| Priority Queue | 高效优先级访问（$O(1)$ top） | 不支持随机访问 |
| std::set | 自动排序+快速查找（$O(\log n)$） | 内存开销大（红黑树） |
| std::deque | 支持双端操作 | 无内置优先级管理 |
#### 8. **自实现示例（最大堆）**
```cpp
template<typename T, typename Compare = std::less<T>>
class PriorityQueue {
std::vector<T> heap;
Compare comp;
void sift_up(int i) {
while (i > 0) {
int parent = (i-1)/2;
if (comp(heap[parent], heap[i])) {
std::swap(heap[parent], heap[i]);
i = parent;
} else break;
}
}
void sift_down(int i) {
int n = heap.size();
while (true) {
int left = 2*i+1, right = 2*i+2, max = i;
if (left < n && comp(heap[max], heap[left])) max = left;
if (right < n && comp(heap[max], heap[right])) max = right;
if (max == i) break;
std::swap(heap[i], heap[max]);
i = max;
}
}
public:
void push(const T& val) {
heap.push_back(val);
sift_up(heap.size()-1);
}
void pop() {
heap[0] = heap.back();
heap.pop_back();
sift_down(0);
}
const T& top() const { return heap[0]; }
bool empty() const { return heap.empty(); }
};
```
### 总结
Priority Queue 通过二叉堆实现高效的优先级管理，在任务调度、图算法等场景至关重要。使用时需注意：
1. 默认最大堆，可通过比较器自定义优先级规则
2. 选择`std::vector`作为底层容器以获得最佳性能
3. 不支持随机访问，多线程需同步
4. 优先使用批量建堆（$O(n)$）而非单元素插入[^1][^2][^3][^4]
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